Care vecchie diofantee

[pepperoma]

Trovare gli interi positivi $ x,y,z $ per cui $ 3^x-5^y=4z^2 $.

[Sonner]

In verità, si può risolvere anche la più generale $3^x-5^y=z^2$

[Chuck Schuldiner]

In verità, si può risolvere anche la più generale $3^x-5^y=z^2$

Perchè, z può essere anche dispari?

[LeZ]

Analizzo modulo $ 4 $, da cui $ (-1)^x-(1)^y\equiv 0 mod 4 $, segue quindi che $ x $ è pari.
Riscrivo l'equazione nella forma: $ 3^x-4z^2=5^y $. Chiamo $ x=2k $ per quanto detto prima è scompongo: $ (3^k-2z)(3^k+2z)=5^y $. Giunto qua, chiamo $ 3^k-2z=l $. La nuova equazione finale da analizzare sarà dunque $ l(l+4z)=5^y $. Ma quali sono le uniche potenze di $ 5 $ che distano un multiplo di $ 4 $ ma non multiplo di $ 5 $? Tutte le coppie nella forma $ (1,5^n) $. In questo modo scopro che $ l=1 $, ovvero $ 3^k-2z=1 $ e inoltre $ 3^k+2z=5^y $.
Con un po' di riduzione si ha che $ 4z=5^y-1 $ , e $ 2\cdot3^k=5^y+1 $. Dalla seconda, analizzando modulo $ 3 $, ottengo che y deve essere dispari, quindi giungo alla soluzione ovvia, ovvero la terna $ (2,1,1) $. Analizzo infine modulo $ 8 $ la prima delle due equazioni precedenti; se $ z $ fosse pari, ci sarebbe un assurdo modulo $ 8 $, in quanto $ 5^(2n+1) -1 $ non è mai multiplo di $ 8 $. Segue necessariamente che $ z $ è dispari. Riscrivo quindi $ 4(2z_1+1)=5^y-1 $ , $ 8z_1+5=5^y $, quindi $ z_1 $ deve essere un multiplo di $ 5 $. Allo stesso modo riprendendo $ l $, risulta che $ z_1 $ deve essere un multiplo di $ 3 $, quindi $ l(l+4(2z_1+1))=5^y $con $ z_1=15z_2 $ .. Mi sa che non è la strada più veloce anche perchè mi sto perdendo! Aiutini?

[Sonner]

Ah sì giustamente appena l'avevo letta avevo pensato a BMO 2009/1 (che avevo risolto tipo 10 minuti prima) e mi è venuto di scriverla. Sei proprio in gamba Sonner!

[LeZ]

Ovviamente $ 1,5 $ non sono le uniche coppie che distano un multiplo di $ 4 $, ma bensì tutte le coppie nella forma $ (1,5^n) $ di conseguenza la dimostrazione precedente è chiaramente incompleta. Modifico!

[Leonida]

Mi sa che non è la strada più veloce anche perchè mi sto perdendo! Aiutini?

Concentrati su $2 \cdot 3^k = 5^y +1$! Hai trovato la soluzione con k=1, come puoi dimostrare che con k>1 non ci sono soluzioni?

[LeZ]

Purtroppo analizzando mod $ 9 $ e mod $ 25 $, sono riuscito a limitare e basta: $ k\equiv 17 mod 20; y\equiv 3 mod 6 $

[Giulia 400]

se provi con altri moduli carini dovresti riuscire ad andare avanti

[matty96]

Testo nascosto:

Tramite LTE si osserva che $\upsilon_3(5^y+1)=1+\upsilon_3(y)$. Assumiamo allora $y=3h$ : si ha $5^{3h}+1 \equiv (-1)^h+1 \pmod7$ perciò h deve essere pari, ma se h è pari allora y è anche pari, assurdo.