Sequenza di numeri

[Hawk]

Ognuno dei numeri $ a_1,....,a_n $ è uguale ad $ 1 $ o $ -1 $ ed inoltre si ha che:
$ S=a_1a_2a_3a_4+a_2a_3a_4a_5+.....a_na_1a_2a_3=0 $
Dimostrare che $ 4|n $.

In verità è preso dall'Engel, solo che non capisco bene l'ultima parte della soluzione.
Quindi ringrazio in partenza gli aiuti .

[Ertool]

Ma se $ n=4 $ non ho che $ S=a_1a_2a_3a_4+a_4a_1a_2a_3=0\;? $

[Hawk]

Si perchè la somma è ciclica. Si avrebbe se non sbaglio:
$ S=a_1a_2a_3a_4+a_2a_3a_4a_1+a_3a_4a_1a_2+a_4a_1a_2a_3=0 $ da cui quello che hai detto.

[Ertool]

Continuo a non capire però...
Se$ \;S=4(a_1a_2a_3a_4)=0 $ vuol dire che $ a_1a_2a_3a_4=0 $, ma se i fattori sono tutti $ 1 $ o $ -1 $ com'é possibile ?!?

[Alepedra96]

Continuo a non capire però...
Se$ \;S=4(a_1a_2a_3a_4)=0 $ vuol dire che $ a_1a_2a_3a_4=0 $, ma se i fattori sono tutti $ 1 $ o $ -1 $ com'é possibile ?!?

L'esercizio non ti dice che la relazione è vera ogni n divisibile per 4, ma che se la relazione è vera n è divisibile per 4

[Ertool]

ah ok grazie!

Provo a postare la mia soluzione: indico con $ A $ le quaterne che assumono valore $ +1 $ e con $ B $ quelle che valgono $ -1 $.
Il numero delle quaterne A è $ n_A $ mentre il numero delle quaterne B è $ n_B $. In totale le quaterne sono $ n_A+n_B=n $
Se $ n=0 $ la tesi è banalmente verificata, se $ n>0 $ la successione degli $ a_i $ presenta almeno un elemento uguale a $ -1 $;
Supponiamo una configurazione (che non deve necessariamente soddisfare l'ipotesi che $ S=0 $) in cui è presente un solo $ -1 $
poichè ogni $ a_i $ è contenuto in 4 quaterne, la somma S sarà del tipo:

$ S=A+A+...+A+B+B+B+B+A+...+A $

Ogni volta che sostituisco un elemento $ +1 $ con un $ -1 $ non faccio altro che cambiare il segno delle 4 quaterne che contengono il nuovo elemento, però la parità del numero delle quaterne B è un'invariante, dato che in base all'elemento che vado a cambiare il numero delle quaterne A e B può variare nei seguenti modi:

$ (n_A;n_B)=(+4;-4),(+2;-2),(0;0),(-2;+2),(-4;+4) $
Quindi il numero delle quaterne B è sempre pari.

Ma le quaterne possono assumere solo valore 1 o -1; affinchè si verifichi la condizione $ S=0 $ ci deve essere lo stesso numero di addendi 1 e -1 e dato che quelli che assumono valore -1 sono pari arrivo alla conclusione che n è il doppio di una quantità pari, e quindi multiplo di 4.