Il seno di un triangolo

[Alepedra96]

Sapendo che $ \alpha,\beta,\gamma $ sono gli angoli di un triangolo, per quali valori è massimo valore di $ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma $

Esistono più metodi risolutivi, provate a risolverlo geometricamente
Se non ci riuscite inviate comunque le soluzioni non geometriche

P.S. Mi sono dimenticato di dire che anche questo è opera di Rudi Matematici

[Mist]

Bon, nessuno risponde e quindi provo io a postare qualcosa di istruttivo... O almeno, è il metodo più geomtrico che mi è venuto in mente.

Per prima cosa, ci ricordiamo che $\displaystyle A = \frac{ab\sin{\gamma}}{2}$ E quindi possiamo riscrivere la nostra espressione di partenza come $\displaystyle \frac{2A(a+b+c)}{abc}$. Ci ricordiamo adesso che $\displaystyle \frac{abc}{4A}=R$ E quindi la nostra espressione di partenza diventa ancora $\displaystyle \frac{a+b+c}{2R}$. Fissato quindi il raggio, ci chiediamo quando il perimetro del triangolo inscritto in tale circonferenza sia massimo. Fissato quindi un lato (che supponiamo WLOG essere $c$) guardato da un angolo $x$, ho che devo massimizzare $a+b = 2R(\sin{\alpha}+\sin{\beta})$ ovvero devo massimizzare $\displaystyle \sin{\alpha}+\sin{\beta} = 2\sin{\frac{\alpha +\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta}{2}}$. Ma $\alpha+\beta$ è fissato per ipotesi (e fa $\displaystyle \frac{2\pi -x}{2}$ mi pare) e quindi occorre massimizzare $\displaystyle \cos{\frac{\alpha -\beta}{2}}$ che è massimo appunto per $\alpha = \beta$. Il triangolo quindi, fissato un lato, assume massimo perimetro quando è isoscele con base quel lato. Affinchè sia isoscele qualsiasi base si prenda (qualsiasi lato si fissi) contemporaneamente, si deve avere però che il triangolo sia equilatero, e quindi gli angoli di partenza, $\alpha , \beta , \gamma$ valgono tutti e tre $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ e quindi otteniamo che il massimo cercato è pari a $\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Spero di essere stato chiaro oltre che prolisso

P.S. Con Jensen usciva velocissimo ovviamente

[Alepedra96]

In realtà io intendevo veramente geometrico, ma anche come lo hai risolto tu è ok
Comunque per il vero metodo geometrico prova a tracciare i diametri AA', BB', CC' in un una circonferenza di raggio unitario in modo che
$ AOB=\alpha,\ BOC=\beta\ e\ COA'=\gamma $, ora il problema è geometrico.

[Hawk]

Ciao Mist, potresti farlo anche con Jensen?

[Mist]

Alur, con jense... hai che $\sin(x)$ tra $0$ e $\pi$ è concava, e quindi vale che
$$\frac{1}{3}\sin{\alpha}+\frac{1}{3}\sin{\beta}+\frac{1}{3}\sin{\gamma} \leq \sin{\frac{\alpha +\beta +\gamma}{3}} = \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

che è quanto ho dimostrato prima

[matty96]

In realtà io intendevo veramente geometrico, ma anche come lo hai risolto tu è ok
Comunque per il vero metodo geometrico prova a tracciare i diametri AA', BB', CC' in un una circonferenza di raggio unitario in modo che
$ AOB=\alpha,\ BOC=\beta\ e\ COA'=\gamma $, ora il problema è geometrico.

Da qua posso considerare che l'area dei tre triangoli(AOB, BOC, COA') corrisponde a $$\frac{\sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma}}{2}$$ quindi devo massimizzare un' area che ha perimetro assegnato. Se considero anche i triangoli corrispondenti a questi(cioè congiungo tutti i punti sulla circonferenza toccate dai diametri), ottengo un esagono qualunque.Ma per un teorema(non difficile da dimostrare, si procede per assurdo) tra tutti i poligoni isoperimetrici quello di area massima è equilatero, quindi ho che i triangoli considerati hanno i tre lati congrunenti, da cui $\alpha=\beta=\gamma= \frac{\pi}{3}$
Prima di leggere questo post, mi era venuta in mente un'altra dimostrazione che non tratta il problema geometricamente ma credo possa funzionare....
Non la scrivo tutta, però questa è l'idea: considero la formula di briggs $$\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b}{2c}+\frac{c}{2b}-\frac{a^2}{2bc}$$ minimizzando questa, massimizzo il seno, quindi, ponendo x=b/c, mi ritrovo che il minimo è per x=1, quindi per b=c (se volete vi spiego il perchè). Perciò ho $\alpha=\beta$ e $\gamma=\pi-2\alpha$. La funzione che voglio massimizzare, allora è
$2\sin{\alpha}+\sin{2\alpha}=\sin{\alpha}+\sin{\alpha}+\sin{2\alpha}$ ed applicando a questa AM-QM ottengo un'equazione che mi porta ad $\alpha=\frac{\pi}{3}$

[Alepedra96]

La dimostrazione geometrica che hai fatto era quella che avevo in mente io