Stage Senior 2012

[xXStephXx]

Ho un po' di dubbi sull'N7.

Quando si arriva a $k(2a +(1+k))^2 -(k+1)(2b+k)^2 = k(k+1)$
Con $k$ dispari si ottiene che $k|b^2$ Come si passa poi a $k|b$?

Sempre nell'N7 verso la fine non capisco questo passaggio:
$N \Bigg((m + \sqrt{k(k+1)}n)(A+\sqrt{k(k+1)}B)^r \Bigg)$
Non capisco perchè il secondo fattore viene elevato alla $r$. Teoricamente se già di suo ammette infinite soluzioni non basta prendere ogni $A$ e $B$ soluzione e ottenere $1$ infinite volte ugualmente?

Poi ho un'altra domanda. Ho scaricato il .pdf con i problemi verso l'inizio, ma mi sono accorto qualche giorno fa che il file è cambiato. Ad esempio nel C7 anzichè "appassionati di film" sono comparsi gli "stagisti" e anche in altri problemi come l'A8 c'è qualche modifica. Devo riadattare quello che avevo scritto oppure posso lasciare così?

[ghiroz]

Anche io avrei un dubbio...però sul N6.
Non riesco a capire perché
$ A_i\equiv A_j mod(2^n)=>i\equiv j mod(2^{n-1}) $
Qualcuno potrebbe darmi un chiarimento?

[Anér]

@ghiroz: visto che nella seconda parte $A_i=\frac{3^i-1}{2}$ per definizione, hai la seguente sequenza di congruenze, ognuna implicata dalla precedente:
$A_i\equiv A_j \pmod{2^n}$
$\frac{3^i-3^j}{2}\equiv 0 \pmod{2^n}$
$3^i-3^j\equiv 0 \pmod{2^{n+1}}$
$3^{i-j}-1\equiv 0\pmod{2^{n+1}}$
Nell'ultimo passaggio abbiamo supposto i>j senza perdita di generalità.
Ora se poni $i-j=2^h\cdot d$ con d dispari, puoi scomporre $3^{i-j}-1$ in due fattori, di cui uno, $3^{2^h}-1$ contiene tutti i fattori 2 contenuti in $3^{i-j}-1$ (perché?). Quanti fattori 2 contiene $3^{2^h}-1$? (Questa è una facile induzione). Vedrai allora che affinché ci siano almeno n+1 fattori 2, anche h deve valere almeno n-1.
@xXStephXx: tu vuoi dimostrare che esistono soluzioni a e b all'equazione qualsiasi sia il parametro k. Visto che li puoi scegliere tu a e b, se k è dispari puoi inventarti di voler trovare soluzioni con b divisibile per k. Questa è una condizione in più che tu, non il problema, sta richiedendo, e da un certo punto di vista è anche un rischio (dato un k dispari potrebbero infatti esistere davvero infinite soluzioni a e b come dice il problema, ma tutte con b non divisibile per k, nel qual caso il tuo tentativo fallirebbe). Imponendo arbitrariamente che b sia della forma ck ti riduci a un'equazione di Pell che sai dimostrare che ha infinite soluzioni. Trovi in questo modo infinite soluzioni a e b, ma non tutte (potrebbero infatti ancora esisterne con b non divisibile per k, ma il problema non ti chiede di trovarle tutte ma di dimostrare che ce ne sono infinite).
Se noti alla fine della soluzione nel pdf c'è proprio questa osservazione: dall'equazione puoi effettivamente ricavare che k divide $b^2$, e questa è una condizione obbligatoria per tutte le soluzioni a e b, mentre la proprietà $k|b$ è solo di alcune soluzioni, che però sono già infinite e ti bastano a risolvere il problema.
Per quanto riguarda la seconda domanda, le infinite soluzioni che ha l'equazione $A^2-DB^2=1$ con d non quadrato si ottengono (e si dimostrano esistere) proprio trovando una soluzione particolare $(A_0,B_0)$, più precisamente quella con componenti più piccole, ed "elevandola" a un qualsiasi esponente naturale (se vuoi puoi anche cambiare segno ad A e B e ottenere soluzioni negli interi relativi). Dunque elevare alla r serve proprio a ottenere tutte le infinite soluzioni.
Infine, per quanto riguarda l'ultima domanda, suvvia, ti pare che ti viene segnato come errore il fatto che hai parlato di stagisti anziché di cinefili? Su questo punto ti si chiede soltanto di scegliere una volta per tutte l'ambientazione e usare sempre le stesse parole, per una semplice questione di chiarezza.

[ghiroz]

Grazie Anèr!

[kalu]

(Altro) dubbio sul C8..
Quando viene trattato il caso che esistano dei sottoinsiemi $ X \subseteq A $ e $ Y \subseteq B $ tali che valga l'uguaglianza $ \sum_{x \in X}{f(x)}=m(X, Y)+\sum_{y \in B\backslash Y}{f(y)} $, viene dimostrato che è lecito eliminare tutti gli archi tra $ X $ e $ Y $ e che a questo punto si tratta di lavorare sui due sottografi $ (X \cup B \backslash Y, E') $ e $ (A \backslash X \cup Y, E'') $, dove $ E' $ e $ E'' $ sono rispettivamente l'insieme delle non-amicizie tra $ X $ e $ B \backslash Y $, e tra $ A \backslash X $ e $ Y $. Viene detto che da qui si conclude per ipotesi induttiva sui due sottografi, ma non si dovrebbe dimostrare che su tali sottografi valgono ancora le ipotesi iniziali? Non mi sembra una cosa banale, a meno che non stia prendendo un grosso granchio.

[Ido Bovski]

Anch'io vorrei fare una domanda sull'esercizio N7.
Nel video si dice che le forme $k(2a +(1+k))^2 -(k+1)(2b+k)^2$ e $m^2-k(k+1)n^2$ sono equivalenti in quanto hanno lo stesso discriminante. E' vero che in generale due forme equivalenti hanno lo stesso discriminante, ma mi sembra strano che valga l'inverso...mi sbaglio?!

[Anér]

(Altro) dubbio sul C8..
Quando viene trattato il caso che esistano dei sottoinsiemi $ X \subseteq A $ e $ Y \subseteq B $ tali che valga l'uguaglianza $ \sum_{x \in X}{f(x)}=m(X, Y)+\sum_{y \in B\backslash Y}{f(y)} $, viene dimostrato che è lecito eliminare tutti gli archi tra $ X $ e $ Y $ e che a questo punto si tratta di lavorare sui due sottografi $ (X \cup B \backslash Y, E') $ e $ (A \backslash X \cup Y, E'') $, dove $ E' $ e $ E'' $ sono rispettivamente l'insieme delle non-amicizie tra $ X $ e $ B \backslash Y $, e tra $ A \backslash X $ e $ Y $. Viene detto che da qui si conclude per ipotesi induttiva sui due sottografi, ma non si dovrebbe dimostrare che su tali sottografi valgono ancora le ipotesi iniziali? Non mi sembra una cosa banale, a meno che non stia prendendo un grosso granchio.

Hai perfettamento ragione, va dimostrato (ma le nuove disuguaglianze si dovrebbero ottenere dalle disuguaglianze iniziali combinate con l'uguaglianza del caso di uguaglianza).

[Anér]

Anch'io vorrei fare una domanda sull'esercizio N7.
Nel video si dice che le forme $k(2a +(1+k))^2 -(k+1)(2b+k)^2$ e $m^2-k(k+1)n^2$ sono equivalenti in quanto hanno lo stesso discriminante. E' vero che in generale due forme equivalenti hanno lo stesso discriminante, ma mi sembra strano che valga l'inverso...mi sbaglio?!

Cosa intendi per forme equivalenti?

[Ido Bovski]

Anch'io vorrei fare una domanda sull'esercizio N7.
Nel video si dice che le forme $k(2a +(1+k))^2 -(k+1)(2b+k)^2$ e $m^2-k(k+1)n^2$ sono equivalenti in quanto hanno lo stesso discriminante. E' vero che in generale due forme equivalenti hanno lo stesso discriminante, ma mi sembra strano che valga l'inverso...mi sbaglio?!

Cosa intendi per forme equivalenti?

Due forme quadratiche binarie $f(x, y)$ e $F(X, Y)$ si dicono equivalenti se $F(X, Y)=f(\alpha X+\beta Y, \gamma X+\delta Y)$, con $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{Z}$ e $|\alpha\delta-\beta\gamma|=1$.

[Anér]

Allora se consideri le due forme $2x^2-2y^2$ e $4x^2-y^2$, queste hanno lo stesso discriminante (16) ma non sono equivalenti, perché la seconda può assumere valori dispari, dunque sì, mi sembra proprio che avere lo stesso discriminante non implichi essere equivalenti. Ma a cosa serve sapere che le forme sono equivalenti nel problema? A cosa servono i discriminanti? Una volta che scegli di voler trovare soluzioni con $k|b$, automaticamente ti riduci all'equazione di Pell $x^2-dy^2=h$ ove $d=k(k+1)$ non è un quadrato e $h=k+1$.

[nassus95]

Sto scrivendo le dimostrazioni dei problemi dello stage e mi chiedevo se è obbligatorio mettere i disegni nelle dimostrazioni di geometria (o anche in quelle di combinatoria).

Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi come è possibile inserire delle immagini (soprattutto di geogebra) nei documenti fatti con LaTex (non so ancora usarlo bene) ???

[Ido Bovski]

Allora se consideri le due forme $2x^2-2y^2$ e $4x^2-y^2$, queste hanno lo stesso discriminante (16) ma non sono equivalenti, perché la seconda può assumere valori dispari, dunque sì, mi sembra proprio che avere lo stesso discriminante non implichi essere equivalenti. Ma a cosa serve sapere che le forme sono equivalenti nel problema? A cosa servono i discriminanti? Una volta che scegli di voler trovare soluzioni con $k|b$, automaticamente ti riduci all'equazione di Pell $x^2-dy^2=h$ ove $d=k(k+1)$ non è un quadrato e $h=k+1$.

Sarebbe stato un modo più elegante per dire che si può passare da $k(2a +(1+k))^2 -(k+1)(2b+k)^2=k(k+1)$ a quell'equazione di Pell $\forall a, b$ (anche se questo non è necessario ai fini della dimostrazione).

[kalu]

(Altro) dubbio sul C8..
Quando viene trattato il caso che esistano dei sottoinsiemi $ X \subseteq A $ e $ Y \subseteq B $ tali che valga l'uguaglianza $ \sum_{x \in X}{f(x)}=m(X, Y)+\sum_{y \in B\backslash Y}{f(y)} $, viene dimostrato che è lecito eliminare tutti gli archi tra $ X $ e $ Y $ e che a questo punto si tratta di lavorare sui due sottografi $ (X \cup B \backslash Y, E') $ e $ (A \backslash X \cup Y, E'') $, dove $ E' $ e $ E'' $ sono rispettivamente l'insieme delle non-amicizie tra $ X $ e $ B \backslash Y $, e tra $ A \backslash X $ e $ Y $. Viene detto che da qui si conclude per ipotesi induttiva sui due sottografi, ma non si dovrebbe dimostrare che su tali sottografi valgono ancora le ipotesi iniziali? Non mi sembra una cosa banale, a meno che non stia prendendo un grosso granchio.

Hai perfettamento ragione, va dimostrato (ma le nuove disuguaglianze si dovrebbero ottenere dalle disuguaglianze iniziali combinate con l'uguaglianza del caso di uguaglianza).

Il punto è che non riesco proprio a farlo... comunque grazie, proverò ancora un pò e se non ce la faccio, pace.

[scambret]

Scrivo nuovamente perchè ho alcuni dubbi sugli esercizi C4 e G4. Per il G4 dove trovo qualche spiegazione della simmediana?? Cioè come dimostro che AD è simmediana?? Poi il C4, perchè se 1/1000 $\binom {1000} {10}$ allora quella riga ha almeno 500 "1"?? cioe un conto sono le combinazioni delle scelte, le altre sono la possibilita di metteree gli "1"... Grazie mille per chi mi da una mano

[Anér]

Sto scrivendo le dimostrazioni dei problemi dello stage e mi chiedevo se è obbligatorio mettere i disegni nelle dimostrazioni di geometria (o anche in quelle di combinatoria).

Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi come è possibile inserire delle immagini (soprattutto di geogebra) nei documenti fatti con LaTex (non so ancora usarlo bene) ???

Non sono un grande esperto di queste cose, dunque ti dirò come facevo io anche se probabilmente non è il metodo migliore (se non altro avrai grossi problemi a ridimensionare le immagini).
Salvi l'immagine (prodotta con geogebra?) in un formato comune (io mi trovavo bene con il png) nella stessa cartella in cui si trova il documento che vuoi compilare; nel preambolo del documento metti la voce

Codice: Seleziona tutto

\usepackage{graphicx}

quindi per inserire l'immagine il cui nome è "figura.png" usi nel documento il codice

Codice: Seleziona tutto

\begin{figure}
\includegraphics{figura.png}
\end{figure}

ovvero apri un ambiente figure e al suo interno inserisci la figura che ti serve. Spero di ricordare bene il codice, se non funziona fammelo sapere.