Progressioni miste!

[simone256]

Sto studiando su una dispensa dove non è messa la formula della somma dei termini da $ a_{s} $ a $ a_{r} $ (estremi inclusi), in una Progressione mista
$ a_n=ka_{n-1}+d $

Provando un po ho fatto saltare fuori questa formula un po contorta (che per induzione sembra funzionare)... Però volevo sapere se esiste già una formula che permette di calcolare la somma dei termini da $ a_{s} $ a $ a_{r} $ diversa da questa e magari un po più semplice!
$ a_s+a_{s+1}+...+a_{r-1}+_r=a_{s}\frac{k^{r-s+1}-1}{k-1}+d(k^{r-s-1}+2k^{r-s-2}+...+r-s) $

P.s. E' il mio primo messaggio con LaTeX e avrei bisogno di qualche dritta! Per esempio... Come faccio a vedere i vostri messaggi scritti come li avete digitati da tastiera? Così che copiandovi e prendendo spunto possa imparare qualcosa! (Per questo messaggio ho frugato nei codici di Wikipedia xD)

[Drago96]

Per il $\LaTeX$ basta fare click destro-->show source, oppure citi il messaggio e leggi la formula

Per le successioni miste, partiamo dal fatto che $\displaystyle a_n=a_0k^n+d\frac{k^n-1}{k-1}$; quindi
$\displaystyle a_s+a_{s+1}+\dots+a_{r-1}+a_r=a_0(k^s+\dots+k^r)+d\frac{k^s-1+\dots+k^r-1}{k-1}=a_0k^s\frac{k^{r-s+1}-1}{k-1}+d\frac{k^s\frac{k^{r-s+1}-1}{k-1}-(r-s+1)}{k-1}=$
$\displaystyle=a_0k^s\frac{k^h-1}{k-1}+d\frac{k^s\frac{k^h-1}{k-1}-h}{k-1}$, dove $h=r-s+1$. E questa è in funzione di $a_0$, anche se penso ce ne siano di meno complicate.

Invece se pensiamo alla successione come a $a_{n+x}=a_nk^x+d\frac{k^x-1}{k-1}$ riusciamo a trovare
$\displaystyle a_s+a_{s+1}+\dots+a_{r-1}+a_r=a_s\frac{k^{r-s+1}-1}{k-1}+d\frac{k^0-1+k-1+\dots+k^{r-s}-1}{k-1}=a_s\frac{k^h-1}{k-1}+d\frac{\frac{k^h-1}{k-1}-h}{k-1}$.
(che è più o meno la tua, solo che io ho raggruppato le potenze di $k$)

[Troleito br00tal]

Idea: trasformiamo la tua progressione in geometrica!

$ a_n=ka_{n-1}+d $

$ a_n+\frac{d}{k-1}=k(a_{n-1}+\frac{d}{k-1}) $

Ora che è geometrica applico le formule di somma geometrica ricordandomi di togliere per ogni termine $ \frac{d}{k-1} $