Finding Jensen...

[petroliopg]

Trovato su una dispensa tra i libri della nonna.
Argomento disuguaglianze, esercizi riassuntivi. Eppure l'ipotesi mi fa venire in mente Jensen, ma non so come applicarlo.


Siano $ x_1,x_2, . . . , x_n $, $ n $ numeri positivi la cui somma è pari ad $ 1 $. Dimostrare:
$ \sum_{i=1}^n {\frac {x_i}{\sqrt {1-x_i}}}\ge \sqrt {\frac {n}{n-1}} $

[Mist]

Jensen si applica per esempio per dire che $\displaystyle \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}f(a_j) \geq f(\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j}{n})$, no ?

è comunque a memoria mi sembra venire dall'Engel...

[petroliopg]

Figurati che sull'Engel avevo cercato per evitare figuracce qua. Niente.
Comunque sì, quelli sono i casi in cui conviene al meglio usare jensen. Più che altro era l'ipotesi che la somma delle $ x_i $ fosse pari a 1 che i ha fatto scervellare su jensen. Non so...

[Mist]

Ma infatti dico, Jensen nella tua disequazione VA usato, è conveniente... se poni $\displaystyle f(x) =\frac{x}{\sqrt{1-x}}$ ti accorgi di una cosa...

[petroliopg]

Che demente che sono. Alla fine l'avevo risolta con Chebyshev, ma sono veramente stupido :O
La funzione si dimostra essere convessa. Dunque
$\displaystyle f\left(\frac{\sum_i^n x_i}{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}\le \ \left(\frac{1}{n}\right)\sum_i^n f(x_i) $
il che è dimostrato.
Grazie mille per l'aiuto

Chissà come ho fatto a non pensarci, sarà che mi rimangono 38 giorni per prepararmi al test della sns e sono indietrissimo