SNS 1991-1992 es. 6

[Tibor Gallai]

Sicuramente hai detto cose che in una soluzione completa _vanno_ scritte.

[didudo]

beh,comunque continuerei dicendo che la parte da percorrere sulla zona più costosa è cosx e l'altra è la radice di (sen^2x+(AB/2-cosx)^2).ora si deve solo trovare il minimo di questa funzione...sui tratti curvi non capisco,facciamo finta che io trovi una strada curva(sempre simmetrica rispetta all'asse di AB) che passa per la zona più costosa e che costa meno di qualunque strada formata da una spezzata e chiamo P il punto in cui interseca la semicirconferenza e C il punto in cui interseca l'asse di AB.non è ovvio che la spezzata formata da AP e PC è sicuramente meno costosa della trada curva,siccome la strada più veloce fra due punti è il segmento che li congiunge??
forse non ho capito cosa siintendeva...

[didudo]

beh,come era ovvio ho letto male la domanda.
cmq mi verrebbe d pensare che i casi che vanno esaminati sono solo quelli in cui il tratto sul bordo di Z è compreso fra il punto di intersezione dell'asse AB e il punto di incontro con la semicirconferenza della tangente mandata da A...

[Robertopphneimer]

scusate ma come avete fatto ad elaborare la funzione??

[Robertopphneimer]

io ho usato carnot e mi viene fuori robaccia...poiché ho 3 angoli diversi!!!! qualcuno mi aiuti!!

[Mist]

Calma e sangue freddo. Inizialmente ho cercato anche io una soluzione completa e, non trovandola, ho pensato che fossi io a non capire. In realtà il punto è che quelli che hanno risposto hanno saltato tutta la prima parte di dimostrazione. Te la scrivo con comodo adesso
Con $PQ, AB, AP, QB$ identifico il costo di quel segmento.
Allora, chiamo $\hat{POA} = \alpha$ e $\hat{QOB} = \beta$. Per carnot si ha che $\displaystyle QB = \sqrt{5-4\cos{\beta}}$, $\displaystyle AP = \lambda \sqrt{5-4\cos{\alpha}}$ e $\displaystyle PQ = \sqrt{2+2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}}$. Devo trovare il minimo di $AP+QB+PQ$ (La misura dell'altro lato, $AB$ è fissata, quindi non ha importanza guardare come questa varia al variare di alfa e beta). Ma $AP+QB+PQ \leq 3 \sqrt{\frac{AP^2+QB^2+PQ^2}{3}}$ per AM-QM e quindi per minimizzare $AP+QB+PQ$ basta che minimizzi $AP^2+QB^2+PQ^2$. Ora, $\displaystyle AP^2+QB^2+PQ^2 = 5-4\cos{\alpha}+5-4\cos{\beta} + 2\lambda ^2 + 2\lambda ^2 \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}} = 10 +2\lambda ^2-4(\cos{\alpha}+\cos{\beta}) + 2\lambda ^2 \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}$. Quest'ultima, per le forume di prostaferesi, diventa $\displaystyle 10 +2\lambda ^2 + \left( 2\lambda ^2-8\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}} \right) \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}$ che diventa minima quando $\displaystyle \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}$ è massimo, ovvero quando $\alpha = \beta$. Concluso questo, si deduce che $\displaystyle PA+QB = 2\sqrt{5-4\cos{\alpha}}$ e $PQ = 2\lambda \cos{\alpha}$. Devo quindi minimizzare la somma di questi due costi, ovvero devo trovare quell'alpha per cui $\displaystyle \sqrt{5-4\cos{\alpha}} + \lambda \cos{\alpha}$ è minimo (ho tolto il fattore due perchè è ininfluente). posto $\cos{\alpha} = x$, ottieni la funzione di cui parla Federiko in un suo post e da cui derivando (ricordando prima di imporre dei limiti su $x$) ottieni la soluzione. A dire il vero ho provato a concludere da qui senza derivate usando AM-GM ma esce una cosa antipatica che comunque usa roba che puzza di analisi e quindi... mah. Spero di averti chiarito le idee

[EvaristeG]

beh cmq didudo è poi anche entrato in sns XD

[Robertopphneimer]

Calma e sangue freddo. Inizialmente ho cercato anche io una soluzione completa e, non trovandola, ho pensato che fossi io a non capire. In realtà il punto è che quelli che hanno risposto hanno saltato tutta la prima parte di dimostrazione. Te la scrivo con comodo adesso
Con $PQ, AB, AP, QB$ identifico il costo di quel segmento.
Allora, chiamo $\hat{POA} = \alpha$ e $\hat{QOB} = \beta$. Per carnot si ha che $\displaystyle QB = \sqrt{5-4\cos{\beta}}$, $\displaystyle AP = \lambda \sqrt{5-4\cos{\alpha}}$ e $\displaystyle PQ = \sqrt{2+2\cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}}$. Devo trovare il minimo di $AP+QB+PQ$ (La misura dell'altro lato, $AB$ è fissata, quindi non ha importanza guardare come questa varia al variare di alfa e beta). Ma $AP+QB+PQ \leq 3 \sqrt{\frac{AP^2+QB^2+PQ^2}{3}}$ per AM-QM e quindi per minimizzare $AP+QB+PQ$ basta che minimizzi $AP^2+QB^2+PQ^2$. Ora, $\displaystyle AP^2+QB^2+PQ^2 = 5-4\cos{\alpha}+5-4\cos{\beta} + 2\lambda ^2 + 2\lambda ^2 \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}} = 10 +2\lambda ^2-4(\cos{\alpha}+\cos{\beta}) + 2\lambda ^2 \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}$. Quest'ultima, per le forume di prostaferesi, diventa $\displaystyle 10 +2\lambda ^2 + \left( 2\lambda ^2-8\cos{\frac{\alpha - \beta}{2}} \right) \cos{\frac{\alpha + \beta}{2}}$ che diventa minima quando $\displaystyle \cos{\frac{\alpha - \beta}{2}}$ è massimo, ovvero quando $\alpha = \beta$. Concluso questo, si deduce che $\displaystyle PA+QB = 2\sqrt{5-4\cos{\alpha}}$ e $PQ = 2\lambda \cos{\alpha}$. Devo quindi minimizzare la somma di questi due costi, ovvero devo trovare quell'alpha per cui $\displaystyle \sqrt{5-4\cos{\alpha}} + \lambda \cos{\alpha}$ è minimo (ho tolto il fattore due perchè è ininfluente). posto $\cos{\alpha} = x$, ottieni la funzione di cui parla Federiko in un suo post e da cui derivando (ricordando prima di imporre dei limiti su $x$) ottieni la soluzione. A dire il vero ho provato a concludere da qui senza derivate usando AM-GM ma esce una cosa antipatica che comunque usa roba che puzza di analisi e quindi... mah. Spero di averti chiarito le idee

allora non ho ben capito un paio di cose...
PQ nella sua formula iniziale non contiene lambda ,
poi l'angolo gamma che tu scrivi come (alpha+ beta )/2 non ho capito bene...perché non sarebbe gamma= 180-alpha-beta.
ultima cosa $PQ = 2\lambda \cos{\alpha}$ non manca una radice?

[Mist]

1)PQ nella sua formula iniziale non contiene lambda ,
2)poi l'angolo gamma che tu scrivi come (alpha+ beta )/2 non ho capito bene...perché non sarebbe gamma= 180-alpha-beta.
3)ultima cosa $PQ = 2\lambda \cos{\alpha}$ non manca una radice?

1) è stato un typo, chiedo scusa e correggo...
2) ehm... ho sbagliato effettivamente, non ho idea di perchè abbia diviso per due
3) No, se fai la figura con PQ parallelo ad AB vedi da te che esce come ho scritto

Niente, la mia dimostrazione sopra è segata completamente (e mi sa che non è correggibile) per il punto 2, ma d'altronde si dimostra che $\alpha = \beta$ dicendo che $PQ$ dev'essere simmetrico all'asse di $AB$

[Robertopphneimer]

ahahahhaahah ti sei salvato in calcio d'angolo perché ponendo PQ parallelo ad AB abbiamo che gamma= 180 -2 alpha e con le formule di addizione dei coseni ci si arriva perché :
se:
$ PQ // AB $
allora:
$ \boldsymbol{\gamma}=180 -2\alpha $
se sviluppiamo il prodotto dei coseni:
$ cos(\gamma)=cos(180-2 \gamma) $
$ cos(\gamma)=cos(180)cos (\alpha) $
$ PQ=\lambda\sqrt{2-2cos(180-2\alpha}=\lambda\sqrt{2(1-cos(180-2 \alpha}=\lambda\sqrt{2(1-(-2cos^2\alpha+1))}= \lambda\sqrt{2(2cos^2\boldsymbol{alpha})} $
$ PQ= \lambda*2cos\alpha $

la soluzione finale mi viene :

$ \alpha=arccos( \frac{5\lambda^2-4}{4\lambda ^2}) $