53. Limitiamo $(x^3+1)(y^3+1)$

[Ido Bovski]

Determinare (senza far uso dell'analisi) il più grande valore che può assumere
$$(x^3+1)(y^3+1)$$
dove $x, y\in\mathbb{R}$ e $x+y=1$.

[ant.py]

È giusto se dico che il massimo é 2 mentre il minimo è $ \frac{81}{64} $?

[Ido Bovski]

È giusto se dico che il massimo é 2 mentre il minimo è $ \frac{81}{64} $?

Nope

[ant.py]

Ok io ho fatto

$ (x^3 + 1)(y^3 + 1) = (xy)^3 + x^3 + y^3 +1 $

essendo $ x^3 + y^3 = (x + y)^3 -3xy(x+y) = 1 - 3xy $

si ha che

$ (x^3 + 1)(y^3 + 1) = (xy)^3 -3xy + 2 $

Essendo $ 3xy \ge (xy)^3 $ (perchèm il massimo per $ xy = \frac{1}{4} $) si ha che $ (xy)^3 -3xy $ è sempre negativa tranne quando $ xy = 0 $ e in questo caso il massimo é 2.. Dove sbaglio?

[auron95]

Attenzione!!

dove $x, y\in\mathbb{R}$ e $x+y=1$.

che non vuol dire $x,y \in \mathbb R^+$!

[frod93]

Determinare (senza far uso dell'analisi) il più grande e il più piccolo valore che può assumere
$$(x^3+1)(y^3+1)$$
dove $x, y\in\mathbb{R}$ e $x+y=1$.

facendo i conti si arriva a massimizzare/minimizzare questo (ho sostituito $y$ con $1-x$):
$-x^6-3x^5+3x^4+x^3-3x^2+2$
quindi il limite minimo è $-\infty$ (mi pare improbabile però visto il tipo di problema)

sul massimo ci sto lavorando...

[Ido Bovski]

facendo i conti si arriva a massimizzare/minimizzare questo (ho sostituito $y$ con $1-x$):
$-x^6-3x^5+3x^4+x^3-3x^2+2$
quindi il limite minimo è $-\infty$ (mi pare improbabile però visto il tipo di problema)

sul massimo ci sto lavorando...

Sì, hai ragione...ho dimenticato di aggiungere delle condizioni sul minimo. Va bien, dimenticatevene (Edito che così è davvero brutto!)

[petroliopg]

Ok io ho fatto

$ (x^3 + 1)(y^3 + 1) = (xy)^3 + x^3 + y^3 +1 $

essendo $ x^3 + y^3 = (x + y)^3 -3xy(x+y) = 1 - 3xy $

evito di riscrivere visto che fino a qua ho fatto uguale...
abbiamo $\displaystyle z=xy$ $\displaystyle p(z)=z^3-3z+2=(z-1)^2(z+2)$ (per comodità grafica personale lol)

consideriamo $\displaystyle z^3-3z$. $\displaystyle z^3-3z\ge 0 \rightarrow -\sqrt3 \le z \le 0$ ($\displaystyle z\ge -\sqrt3$ non va considerata perché è chiaro che $\displaystyle z$ al massimo è $\displaystyle \frac{1}{4}$). ciò significa che due radici $\displaystyle z_1, z_2$ sono comprese nell'intervallo $\displaystyle [-\sqrt3;0]$. Quando queste due saranno coincidenti avremmo il punto di ottimo, di massimo o minimo relativi: $\displaystyle z^3-3z=k$, da cui è facile ricavare la z ottimale sapendo che $\displaystyle z_1+z_2+z_3=2z_1+z_3=0; z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=z_1^2+2z_1z_3=-3; z_1z_2z_3=z_1^2z_3=k$, ossia $\displaystyle z=-1$. Sostituendo notiamo che è un massimo relativo.
il valore di $\displaystyle p(-1)=4$ è quello cercato.

mi da comunque l'idea di troppo analitico, anche se non ho derivato lol
lascio la parola agli algebristi per capire come diavolo si faceva lol

[jordan]

Era sufficiente am-gm, che e' valida in R: devi massimizzare $(z-1)^2(z+2)$ che equivale a massimizzare $(1-z)(1-z)(2z+4)$ che e' massimo quando sono uguali, i.e. $z=-1$.

[auron95]

Una domanda: adesso tu hai trovato che sono tutti uguali perchè AM è costante e quindi perchè GM³ sia massima dev'essere massima GM che è massima se gli elementi sono uguali. Ma se i fattori fossero stati due (o comunque in numero pari) si poteva fare lo stesso oppure ci sarebbero stati dei problemi riguardanti il segno (si sa, quando si eleva al quadrato capitano sempre dei disastri!)

[Ido Bovski]

mi da comunque l'idea di troppo analitico, anche se non ho derivato lol

L'hai detto stesso te!

Era sufficiente am-gm, che e' valida in R: devi massimizzare $(z-1)^2(z+2)$ che equivale a massimizzare $(1-z)(1-z)(2z+4)$ che e' massimo quando sono uguali, i.e. $z=-1$.

Uguale alla mia. Vai pure col prossimo...e vedi di non bloccare la staffetta per un altro anno (hai visto come sono stato buono io?)

[jordan]

Vai pure col prossimo...e vedi di non bloccare la staffetta per un altro anno (hai visto come sono stato buono io?)

Il fatto è che non seguivo piu' il forum, altrimenti la regola sarebbe stata di postare la soluzione entro la settimana..

Comunque, passo il testimone a petroliopg, visto che l'idea base per la soluzione dell'esercizio non e' stata mia

[Robertopphneimer]

Era sufficiente am-gm, che e' valida in R: devi massimizzare $(z-1)^2(z+2)$ che equivale a massimizzare $(1-z)(1-z)(2z+4)$ che e' massimo quando sono uguali, i.e. $z=-1$.

L'unico modo per massimizzare è AM-GM?? cioè c'è un modo per massimizzare??Un qualcosa di standard?