n!+1|(2012n)!, per quanti n?

[jordan]

E' vero che esistono infiniti interi positivi n tali che n!+1 divide (2012n)! ?

(IMC, 2012)

[dario2994]

Vale $\displaystyle(2012n)!=n!^{2012}\prod_{i=1}^{2012}\binom{in}{n}$ quindi:
$\displaystyle(2012n)!\equiv \prod_{i=1}^{2012}\binom{in}{n}\pmod{n!+1}$ (1)

Facilmente $\binom{in}{n}\le \frac{i^n\cdot n^n}{n!}$ ma è fatto più o meno noto che $\frac{n^n}{n!}<4^n$ (facile da dimostrare per induzione usando $(1+\frac1{n})^n<4$) e perciò $\binom{in}{n}<(4i)^n$.
Quindi, ponendo $k=10000^{2012}$, ottengo
$\displaystyle\prod_{i=1}^{2012}\binom{in}{n}< \prod_{i=1}^{2012}(4i)^n< \prod_{i=1}^{2012}10000^n=k^n$ (2)

Ma allora
$\displaystyle n!+1|(2012n)!\Rightarrow \ n!+1|\prod_{i=1}^{2012}\binom{in}{n} \Rightarrow n!+1< \prod_{i=1}^{2012}\binom{in}{n} \Rightarrow n!+1<k^n$
Ma l'ultima disuguaglianza vale facilmente solo per un numero finito di $n$ (basta scegliere $n$ enormissimo per accorgersene!) e perciò anche la divisibilità del testo deve valere per un numero finito di $n$.

[jordan]

E bravo dario

In sostanza e' uguale alla mia.. la copio sotto:


Fissato un intero $ k\ge 2 $, definiamo la funzione $ f(n):=\displaystyle \frac{1}{n!+1}{kn\choose n,n,\ldots,n} $ dove il secondo fattore e' un coefficiente multinomiale con $ k $ volte $ n $ al denominatore. Dato che $ \text{gcd}(n!,n!+1)=1 $ allora $ f(n) \in \mathbb{N}_0 $ se e solo se $ n!+1\mid (kn)! $; assumiamo per assurdo per $ f(n)\in \mathbb{N}_0 $ per infiniti valori di $ n\in \mathbb{N}_0 $.

Si può notare che $ f(n)>f(n+1) $ per ogni $ n> 2k^k $: in tal caso infatti $ \displaystyle f(n)=\displaystyle \frac{1}{n!+1}{kn\choose n,n,\ldots,n} $$ \displaystyle >\frac{1}{2n!}{kn\choose n,n,\ldots,n} $ $ >\displaystyle \frac{k^k}{(n+1)!}{kn\choose n,n,\ldots,n} $ $ =\displaystyle \frac{(k(n+1))^k }{(n+1)!\cdot (n+1)^k}{kn\choose n,n,\ldots,n} $ $ >\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}{k(n+1)\choose n+1,n+1,\ldots,n+1}>f(n+1) $

Se $ f(n) \in \mathbb{N}_0 $ per infiniti valori di $ n\in \mathbb{N}_0 $ allora esisterà una sequenza infinita di interi $ 2k^k<n_1<n_2<n_3<\ldots $ tale che $ f(n_i) \in \mathbb{N}_0 $ per ogni $ i \in \mathbb{N}_0 $: ma $ f(n_1)>f(n_2)>f(n_3)>\ldots $, e non puo' esistere una sequenza infinita di interi positivi strettamente decrescente.

Questo e' sufficiente a concludere che esiste solo un numero finito di interi $ n \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ f(n) \in \mathbb{N}_0 $.