Disequazione catalana

[petroliopg]

Viene da un test per la scuola superiore di catania. Non sapevo di fatti dove postarla, se in algebra o in borse di studio. Bah.
Comunque ecco il testo:

$\displaystyle x_0=0, x_k>0 (k=1, . . . ,n)$. $\displaystyle \sum_{i=0}^n x_i=1$ (*) Dimostrare che :
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac {x_k}{{\sqrt{1+ \sum_{i=0}^{k-1} x_i}}\cdot{\sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}} < \frac {\pi}{2}$

Buon divertimento

edit: (*) Errore nel testo dell'esame. Sti deficienti. Corretto
Il problema diventa risolviile e pure facile. Saluti

[Mist]

Posto io la soluzione, anche se non era difficile con l'ultima ipotesi, solo perchè c'ho pensato stanotte per addormentarmi SENZA l'ipotesi aggiuntiva confondendomi all'infinito con un sacco di $S$

Chiamo $\displaystyle \alpha _k = \sum_{i=0}^kx_i$ e $\displaystyle \beta_{k} = \sum_{i=k}^nx_i$. Per ipotesi $\alpha _k +\beta _k = 1$ (e io qui ponendo uguale ad un generico $S$ mi ci perdevo ) E quindi posso scrivere che $\alpha _k ^2 -2\alpha _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$ così come $\beta _k ^2 -2\beta _k +(1+\alpha _k)\beta _k =0$. Da queste ultime due si ottiene che $\displaystyle 2(1+\alpha _k)\beta _k = 2-(\alpha _k ^2 + \beta _k ^2) \leq 2-2\left( \frac{\alpha _k +\beta _k}{2}\right) ^2 = \frac{3}{2}$. Quindi $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}$ da cui $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{x_k}{\sqrt{(1+\alpha _k)\beta _k}} \geq \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{k=1}^{n}x_k = \frac{2}{3}\sqrt{3} < \frac{\pi}{2}$

[Robertopphneimer]

mist mi diresti come sei passato da$ \alpha_k +\beta_k =1 $ a tutta quella roba??
Mi potresti spiegare tutto il tuo ragionamento?

[Mist]

Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè dover avere come soluzioni alfa e beta, il polinomio doveva avere soluzioni 1+alfa e beta. Tutto il resto è segato di conseguenza

[petroliopg]

se non sbaglio c'è un errore anche alla fine? la disuguaglianza finale intendo... ho visto quella prima di iniziare a leggere il resto e sono andato a ritroso cercando di capire se era una svista...

EDIT: mentre ragionavo vedo che avete già risposto

[Robertopphneimer]

Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè dover avere come soluzioni alfa e beta, il polinomio doveva avere soluzioni 1+alfa e beta. Tutto il resto è segato di conseguenza

Dalle soluzioni del polinomio (alpha+1 e beta )poi come saresti passato alla dimostrazione della disuguaglianza??

[Mist]

la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino

[Robertopphneimer]

la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino

tranquillo sai quante volte ho fatto casino io

[Robertopphneimer]

Ci provo io partendo da $ \alpha + \beta =1 $

$ \sum_{i=0}^k x_i $ + $ \sum_{i=k}^n x_i = 1 $

cioè

$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $

$ k(k+1)= \frac{2} {3} $

$ \sum_{k=1}^n x_k = \frac {2} {3} $

$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} $

$ \sum_{k=1}^n \frac {x_k} {\sqrt{1+\sum_{i=o}^k-1 x_i}* \sqrt {\sum_{i=k}^n x_i}}< \frac {2} {3} < \frac{\pi}{2 } $

[petroliopg]

$ k(k+1)+2k(k+1)= 3k(k+1)=2 $

Non ho capito dove la tiri fuori questa...

[Robertopphneimer]

misà che non ho visto bene il pedice ...comunque $ \sum _{i=0}^n i = \frac {n(n+1)}{2} $ l'ho applicato a k....

[petroliopg]

guarda che quella identità è valida solo per la somma dei primi n naturali...

[Robertopphneimer]

si infatti avevo inteso x come naturale, tutto segato anche per me.

[petroliopg]

sbagliato luogo dove postare.... sorry again

[Xamog]

Uhm, che senso ha postare un nuovo problema all'interno di un thread dove il problema iniziale non ha ancora avuto soluzione? Meglio forse aprirne uno nuovo.

Btw, la disuguaglianza iniziale è proprio carina, anche se quel pi greco la rende molto "border line" all'interno della sezione di matematica "elementare". Consigliatissima per utenti medio-esperti (la tecnica su cui si basa può tornare utile, anzi è già tornata utile, anche in ambito olimpico). Enjoy