Disuguaglianza

[Robertopphneimer]

quello che intendevo dire è che anche io mi ritrovo in condizioni molto simili alle tue (se non peggio) ,l'unica cosa che ho potuto mettere di mio sin dall'inizio dei miei studi matti è disperatissimi è stata la passione per queste scienze..spero che la fatica dia risultati!! ma è difficilissimo assimilare così tante cose in poco tempo! ma ciò non ci deve fare scoraggiare nè a me nè a te ! dobbiamo avere il CORAGGIO di utilizzare il nostro intelletto! sono sicuro che riusciremo ad ottenere le nostre soddisfazioni

ok siamo Ot parliamo per MP

[Robertopphneimer]

Ci riprovo :

WLOG: $ a^2 \gg b+c^2 $

$ \frac {1+b^2}{1+a^2+c}+\frac{1+c^2}{1+a+b^2} \gg 1 $

assurdo
$ \frac {1+b^2}{1+a^2+c}+\frac{1+c^2}{1+a+b^2} <1 $

quindi:

$ \frac{1+c^2}{1+a+b^2} <1-\frac {1+b^2}{1+a^2+c} $

ma secondo il Wlog $ \frac{1+c^2}{1+a+b^2} > \frac {1+b^2}{1+a^2+c} $

perciò la tesi è confermata.perciò è dimostrato il contrario.

@petroliopg so che è ancora rozza e mancante di molte parti,ma almeno dimmi se c'è qualcosa di buono(penso poco) e se almeno il ragionamentosta prendendo lagiusta via.

[petroliopg]

Dunque, non capisco dove sia finito l' $\a^2 $...
data la tua ipotesi hai $\displaystyle \frac{1+a^2}{1+b+c^2}$ che diventa (credo) $\displaystyle 1+a^2$

[Robertopphneimer]

nono è solo maggiore o uguale ad uno dato il Wlog, dunque il resto sarà maggiore uguale ad uno.

[petroliopg]

con il wlog $\ a\ge b \ge c$ o simili dovresti riuscire facilmente a risolverlo comunque...

[Robertopphneimer]

con il wlog $\ a\ge b \ge c$ o simili dovresti riuscire facilmente a risolverlo comunque...

Perfetto anche se così penso vada comunque bene no?(volevo solo sapere se ho imparato a sveltire i calcoli)

[Gottinger95]

@Robertopphneimer: Non capisco bene dove spunti l'assurdo; se dici assurdo, sarebbe meglio che tu svolga quello che hai fatto finchè non arrivi al contrario di un ipotesi. Così non c'è nessuna ipotesi evidentemente contraddetta. Poi è pure che io sono un po' scemo, però fammici arrivare

Visto che l' LHS è un espressione simmetrica in tre variabili, uso il metodo SPQ (adesso mi spiego ).
Posso scrivere l'LHS in termini di S,P,Q, che rappresentano rispettivamente la somma, il prodotto e la somma dei prodotti a coppie di a,b,c; lo posso fare perchè è simmetrico. Dunque ho:
\( \displaystyle LHS = R(S,P,Q)\)
dove R è un polinomio in tre variabili. Visto che R è di quarto grado e P è di terzo grado, P comparirà solo accompagnato da S (che è di grado 1):
\( \displaystyle R(S,P,Q) = \alpha SP + R'(S,Q)\)
dove R' è in polinomio in due variabili. Fissati S e Q, R è una combinazione lineare in P, perciò i suoi valori sono compresi tra il massimo e il minimo di P. Ma come può variare P? Sia G(x) un polinomio in x che ha come radici a,b,c :
\( \displaystyle G(X) = (x - a)(x-b)(x-c) = x^3 -Sx^2 + Qx - P\)
Se immaginiamo di tracciare il grafico di G(x), far variare P corrisponde a una traslazione verticale del grafico. Le proprietà che dobbiamo conservare traslando il grafico sono:
I) Il polinomio ha tre radici reali, dunque il grafico ha tre intersezioni con l'asse x;
II) Le tre radici sono > -1, perciò le intersezioni del grafico con l'asse x devono essere maggiori di -1.
I casi limite per queste condizioni si verificano quando la curva è tangente all'asse x (perchè poco oltre ci sarebbe una sola soluzione reale) - questo caso limite si presenta quando a=b - o quando un'intersezione è vicinissssima a -1 - e questo si presenta quando a=-1.
Perciò basta dimostrare la disuguaglianza in questi due casi limite e risulterà dimostrata per tutti i valori di a,b,c.

Ehm, la seconda parte contosa non è che mi vada proprio di farla...qualche coraggioso volontario?