n!+k non e' sempre primo

[jordan]

Mostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che n!+k non e' primo, dove k e' un intero fissato.

[Ido Bovski]

• Se $k=0$, prendiamo $n\neq 2$.
• Se $|k|>1$, prendiamo $n>|k|$.
• Se $k=1$, prendiamo $n=p-1$ con $p>3$ primo, poiché $p|(p-1)!+1$ (teorema di Wilson).
• Se $k=-1$, prendiamo $n=p-2$ con $p>5$ primo, poiché $p|(p-2)!-1$ (conseguenza del teorema di Wilson).

[scambret]

$a!+b$ non è primo se
- $a \geq b$, infatti in questo modo $b$ è minore o uguale ad $a$ e quindi è sicuramente compreso nello sviluppo del fattoriale di $a$;
- ma non è primo anche nel caso in cui $b$ compare nello sviluppo di $a!$, anche con divisori distinti.

Perciò esclusi i casi di $k$ diversi da 1,0 basta che $n \geq k$.

Adesso vedo con 1 e 0

Se $k=0$, allora n è primo con $n \neq 2$.

Il caso 1 non ho idea, però

Edit: fregato sul tempo

[jordan]

• Se $k=0$, prendiamo $n\neq 2$.
• Se $|k|>1$, prendiamo $n>|k|$.
• Se $k=1$, prendiamo $n=p-1$ con $p>3$ primo, poiché $p|(p-1)!+1$ (teorema di Wilson).
• Se $k=-1$, prendiamo $n=p-2$ con $p>5$ primo, poiché $p|(p-2)!-1$ (conseguenza del teorema di Wilson).

Molto bene