SSSUP pulce maledetta

[giapippa]

Una pulce affetta da una strana malattia effettua salti su un piano orizzontale in qualunque direzione, ma nel seguente modo : il primo salto è lungo 1 cm, il secondo 2 cm, il terzo 4 cm, ..., l'n-esimo $ 2_n-1 $ cm etc
Può dirigere i suoi salti in modo tale da tornare prima o poi al punto di partenza?


Secondo me no....ho provato a pensare a qualcosa tipo cerchi che si intersecano e roba varia ma non ci riesco ^^

[Robertopphneimer]

Una pulce affetta da una strana malattia effettua salti su un piano orizzontale in qualunque direzione, ma nel seguente modo : il primo salto è lungo 1 cm, il secondo 2 cm, il terzo 4 cm, ..., l'n-esimo $ 2_n-1 $ cm etc
Può dirigere i suoi salti in modo tale da tornare prima o poi al punto di partenza?


Secondo me no....ho provato a pensare a qualcosa tipo cerchi che si intersecano e roba varia ma non ci riesco ^^

Secondo me non linearmente...se fa n salti il numero dei centimetri non è pari ed il salto successivo(che lo porterebbe all'indietro) è il doppio e così via se salta avanti e indietro nn ce la farà mai... prova in diagonale..del tipo teorema di pitagora ..devi trovare 3 successivi numeri la cui somma dei quadrati dia un quadrato..devi trovare tre multipli di 2 che siano una terna pitagorica(se esistono) altrimenti in generale non so che dirti.

[giapippa]

dunque con il primo salto si può muovere lungo una circonferenza di raggio 1 (distante dal punto di partenza), ogni punto di tale circonferenza può generare un'altra circonferenza di raggio 2 e così via....non si può arrivare a dire che non si intersecherà mai con il punto di partenza ragionando in questi termini? :S

[Robertopphneimer]

dunque con il primo salto si può muovere lungo una circonferenza di raggio 1 (distante dal punto di partenza), ogni punto di tale circonferenza può generare un'altra circonferenza di raggio 2 e così via....non si può arrivare a dire che non si intersecherà mai con il punto di partenza ragionando in questi termini? :S

Anche! però devi contare che ne so non va solo avanti e indietro immaginati tutte le circonferenze che si creano dopo il primo salto...dovresti sviluppare una successione..o una formula(va bene anche con le circ.penso) e poi dimostrarla per induzione(penso sempre..vediamo se qualcuno ci aiuta)

[giapippa]

sisi ogni punto della circonferenza genera altre circonferenze di raggio 2, a loro volta quest'ultime generano altre circonferenze di raggio 4....devo dimostrare che il raggio di tutte queste circonferenze non sarà mai uguale a un certo numero....ovvero la distanza dalla zona iniziale!

[Robertopphneimer]

sisi ogni punto della circonferenza genera altre circonferenze di raggio 2, a loro volta quest'ultime generano altre circonferenze di raggio 4....devo dimostrare che il raggio di tutte queste circonferenze non sarà mai uguale a un certo numero....ovvero la distanza dalla zona iniziale!

però...si in effetti devi dimostrare che queste circonferenze di raggio 2_n-1 ...allora è fatta girando intorno al punto di partenza si determineranno circonferenze sempre più grandi che che "acchiapperanno" proprio perché il valore del raggio raddoppia e per compensare non dovrebbe essere il doppio perché al massimo si può avvicinare di 1 cm al punto

[giapippa]

puoi spiegarti meglio ? =D

[Robertopphneimer]

puoi spiegarti meglio ? =D

Non ho una dimostrazione rigorosa, immagino tutte le possibili circonferenze..tu puoi tornare su punto di partenza attraverso due modi:
in modo lineare: non c'è soluzione
un pò intrecciato: ora dobbiamo dimostrare che qualsiasi punto si prende non si può tornare sul punto di partenza.
Il caso limite che ho pensato è quello più favorevole cioè una spirale spezzata...ma essa non si può creare perché il prossimo passo è maggiore del primo e quindi sta pulce non può camminare verso l'interno.
Se vogliamo vederla come linee spezzato che formano dei triangoli...non esistono terne che possano dare triangoli i cui vertici sono i tre punti a 2a 4a. capito??Ancora non sono arrivato ad un qualcosa di generale però xD.

[giapippa]

si però come dimostri che linearmente non ci sono soluzioni? provo a fare una sorta di disegno con i primi 3 salti....si formano quasi delle circonferenze concentriche (sommando tutti i punti delle varie circonferenze)

[Kopernik]

Non sapevo che fosse un problema di Pisa; l'ho visto su un vecchio libro di gare americane.
Un suggerimento: non occorrono circonferenze o altri trucchi particolari, il problema è più facile del previsto. Espongo la soluzione ma la nascondo.

Testo nascosto:

Ogni salto è maggiore della somma di tutti i precedenti. Ammettendo quindi che tutti i primi n salti siano nella stessa direzione e nello stesso verso, e l'n+1-esimo abbia stessa direzione ma verso opposto, non è possibile tornare al punto di partenza perché il salto n+1 ha lunghezza maggiore della distanza della pulce dal punto di partenza; se i salti non hanno stessa direzione e stesso verso, ciò vale a maggior ragione...

[giapippa]

quindi basta dire che la successione 1 + o meno 2 più meno 4 ecc (non so come si scrive) non si annulla mai e ciò vale per tutte le direzioni...?

[Kopernik]

Innanzitutto fai attenzione alla precisione di quello che scrivi:
1, 2, 4, 8, ... $ 2^n $... è una successione
1$ \pm $2$ \pm $4... è la somma dei termini della successione a cui attribuisci di volta in volta un segno.
Il fatto che con qualunque distribuzione di segni la somma non sia mai nulla però non basta; sarebbe sufficiente solo se la pulce si muovesse lungo una retta. Se infatti la pulce facesse tre salti lunghi 5, 12 e 13, potrebbe tornare al punto di partenza anche se 5$ \pm $12$ \pm $13 non fa zero per nessuna distribuzione dei segni. E' invece cruciale che l'n-esimo salto sia maggiore della somma dei precedenti. Il punto chiave è che se la pulce fa n salti si troverà a una distanza dal punto di partenza minore o uguale della somma delle lunghezze dei salti fatti. Quindi si trova all'interno di un cerchio il cui raggio è la massima lunghezze possibile percorsa (che è $ 2^{n-1}-1 $, ottenuta muovendosi in linea retta). Il salto successivo ha una lunghezza di $ 2^{n-1} $; quindi la pulce non può tornare al punto di partenza. Ciò vale non solo per il salto dato, ma per tutti, quindi...

[giapippa]

sono piuttosto frettoloso perdonami
avevo pensato addirittura di scrivere un'equazione per il generico punto P(x,y) della n-esima circonferenza e dimostrare che in un sistema di riferimento in cui l'origine è il punto di partenza, essa non poteva appartenere a nessuna delle varie circonferenze...però mi sa che era poco fattibile come cosa!
Grazie comunque per la dritta