Posso avere un hint su un problema di Archimede?

[flutist001]

Ciao a tutti , mi sto allenando un po' per i giochi di Archimede (ho appena finito il primo anno di superiori) e sto cercando di fare la prova del triennio del 2011 , vorrei chiedervi però qualche suggerimento per dei problemi che sono convinto per quanto possa sforzarmi non potrò mai risolvere da solo questi (premessa : non ho usato il latex perché , non so per quale motivo , se lo uso mi mette tutte le lettere da capo)

m e n sono due numeri interi positivi , tali che m-n = 7 , quanti sono i valori compresi tra 0 e 2011 (estremi inclusi) che possono essere assunti da m+5n ?

a , b , c sono tre numeri reali tutti diversi tra loro , per quanti numeri reali x , al massimo , possono valere le uguaglianze ax+b=bx+c=cx+a ?

Quante terne ordinate ( p , q , r) formati da numeri primi minori di 100 verificano p^2+q^2=r?

So che sono tre e dovrei aprire tre topic , ma sapendo che voi siete a livelli decisamente più alti , spero non sia un problema (e poi non vorrei mai riempire la pagina di post con problemi così poco interessanti).

Grazie di cuore

[scambret]

Per il primo come puoi scrivere $m+5n$, sapendo che $m-n=7$??
Per il secondo proverei a porre a,b,c tutti in funzione di c, del tipo $a=c+k$ e $b=c+h$ con k e h due numeri reali, anche negativi.. Poi sostituirei nelle tre uguaglianze..
Per il terzo dato che $r<100$, allora non puo essere che entrambi i primi siano maggiori di 10 perche se tutti e due fossero maggiori di 10, allora..... Quindi assumi ad esempio che p sia minore di 10, quindi p vale o 2 o 3 o 5 o 7.. Puo essere inoltre $p=q$??? E poi....

Ps non so quanto hint volevi..

[Drago96]

per il secondo c'è una soluzione con due conti e finale cannoneggiante xD (beh, in realtà è bunching oppure AM-QM e MacLaurin, però mi sa che per un archimede è troppo... )

[scambret]

per il secondo c'è una soluzione con due conti e finale cannoneggiante xD (beh, in realtà è bunching oppure AM-QM e MacLaurin, però mi sa che per un archimede è troppo... )

Anche riarrangiamento ma non è livello Archimede..

[flutist001]

Per il primo come puoi scrivere $m+5n$, sapendo che $m-n=7$??
Per il secondo proverei a porre a,b,c tutti in funzione di c, del tipo $a=c+k$ e $b=c+h$ con k e h due numeri reali, anche negativi.. Poi sostituirei nelle tre uguaglianze..
Per il terzo dato che $r<100$, allora non puo essere che entrambi i primi siano maggiori di 10 perche se tutti e due fossero maggiori di 10, allora..... Quindi assumi ad esempio che p sia minore di 10, quindi p vale o 2 o 3 o 5 o 7.. Puo essere inoltre $p=q$??? E poi....

Ps non so quanto hint volevi..

Intanto grazie , vediamo il primo (sono sicuro di aver combinato un casino ) :
Si dovrebbe riscrivere come 6n+7 , quindi la soluzione dovrebbe essere (2011-7)/6 che è 334 , che fortunatamente si trova tra le opzioni

Il secondo è buio totale , quindi penso ci sarebbe voluto più hint il terzo meglio mi risulta 6 che dovrebbe essere giusto!

**momento di illuminazione : è possibile che nel secondo a=b=c ?

[scambret]

te lo dice che $a \neq b \neq c$

Come sei arrivato al terzo??? ps comunque complimenti, sei di prima e fai quelli del triennio!!

Per il 2
$a=c+h$ e $b=c+k$ quindi diventano $(c+h)x+c+k=(c+k)x+c=cx+c+h$ e sfruttando le uguaglianze.....

Ti ho messo un hint nascosto pero

Testo nascosto:

da $(c+h)x+c+k=cx+c+h$ ottieni $cx+hx+c+k=cx+c+h$ e quindi $hx+k=h$
da $(c+h)x+c+k=(c+k)x+c$ ottieni $hx+k=hx$ perciò $h=hx$ e quindi $x=1$
ma sostituendo si ottiene che $a+b=b+c=c+a$ che non è possibile per ipotesi

[flutist001]

te lo dice che $a \neq b \neq c$

Come sei arrivato al terzo??? ps comunque complimenti, sei di prima e fai quelli del triennio!!

Giusto , epic fail per me!Il terzo non mi è servito farlo , il tuo hint diceva tutto , ho solo dovuto trovare quali terne funzionavano!Comunque i complimenti li farei io a te , non penso che le prove del triennio siano tanto diverse dal biennio , piuttosto ho visto le risposte che dai tu e hai solo 15 anni!!Mica ti dispiace se ti chiedo come hai fatto a diventare tanto bravo?

[flutist001]

te lo dice che $a \neq b \neq c$

Come sei arrivato al terzo??? ps comunque complimenti, sei di prima e fai quelli del triennio!!

Giusto , epic fail per me!Il terzo non mi è servito farlo , il tuo hint diceva tutto , ho solo dovuto trovare quali terne funzionavano!Comunque i complimenti li farei io a te , non penso che le prove del triennio siano tanto diverse dal biennio , piuttosto ho visto le risposte che dai tu e hai solo 15 anni!!Mica ti dispiace se ti chiedo come hai fatto a diventare tanto bravo?

Ah , quindi non avevo sbagliato il n. 2 , però la prossima volta meglio se leggo più attentamente la traccia
Grazie mille comunque , spero di non aver più bisogno di aiuto

[scambret]

In realtà spero che non hai fatto a mano tutti i casi al 3.. Basta dire che $p \leq 10$, ma se $p$ e $q$ fossero entrambi dispari allora............ E quindi restringi i casi......... Comunque sono un po diverse dal biennio, e comunque se qui c'è qualcuno di 15 anni bravo quello è Drago96 (scusate gli altri, ma non conosco le età).. Comunque se hai bisogno di aiuto chiedi il forum è fatto apposta.. E inoltre dato che mi hai chiesto com è che sono "bravo" consiglio i video del Senior.. Ho studiato da li

[Drago96]

comunque se qui c'è qualcuno di 15 anni bravo quello è Drago96 (scusate gli altri, ma non conosco le età)

a parte che ho sedici anni xD (ho finito seconda) e che non sono poi così forte, uno veramente bravo è troleito br00tal e soprattutto, anche se qua sul forum ha solo due messaggi, Francesco Sala...

Concordo sui video dei senior, sono illuminanti!

[flutist001]

Vabbè dai , resta comunque fermo il fatto che siete entrambi a livello Cesenatico spero di diventarlo anche io finita la seconda (facciamo terza dai , dato che sono del '98 e non ho troppe pretese ).
Grazie ancora anche per i video!

[scambret]

comunque se qui c'è qualcuno di 15 anni bravo quello è Drago96 (scusate gli altri, ma non conosco le età)

a parte che ho sedici anni xD (ho finito seconda) e che non sono poi così forte, uno veramente bravo è troleito br00tal e soprattutto, anche se qua sul forum ha solo due messaggi, Francesco Sala...

Concordo sui <a class="ktg6us78hf8vdu7" href="#">video</a> dei senior, sono illuminanti!

Btw anche io ho finito la II, ma ho 15 anni e comunque non li conoscevo ps livello cesenatico quest'anno ho fatto 17 punti, ma non si dice