Sia data una sequenza $a_n$ strettamente crescente di interi positivi.
Si ha che $(m,n)=1\rightarrow a_{mn}=a_ma_n$ e $a_2=2$.
Dimostrare che $a_n=n$ per ogni $n$ intero positivo.
Una sequenza... naturale
Una sequenza... naturale
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Una sequenza... naturale
Intanto $a_b \geq b \ \ \forall b \in \mathbb{N}$ per la crescenza stretta della successione. Suppongo per assurdo che fino al numero $b-1$ vale $a_{b-1}=b-1$ e per il numero $b$ la tesi non vale più. Se $b$ è pari e $b/2$ è dispari allora $a_b=a_{\frac{b}{2}}a_2=\frac{b}{2}2=b$, assurdo. Se $b$ è pari e $b/2$ è pari allora $b+2$ è pari e $(b+2)/2$ è dispari, quindi $a_{b+2}=a_{\frac{b+2}{2}}a_2=\frac{b+2}{2}2=b+2$, ma è un assurdo perchè se $a_b>b$ anche $a_{b+1}>b+1$ e $a_{b+2}>b+2$ per la crescenza.
Se $b$ è dispari allora $b+1$ è pari. Se $(b+1)/2$ è dispari allora $a_{b+1}=a_{\frac{b+1}{2}}a_2=\frac{b+1}{2}2=b+1$, assurdo per la crescenza. Se $b+1/2$ è pari allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo, quindi $a_b=b$ per ogni $b$.
Se $b$ è dispari allora $b+1$ è pari. Se $(b+1)/2$ è dispari allora $a_{b+1}=a_{\frac{b+1}{2}}a_2=\frac{b+1}{2}2=b+1$, assurdo per la crescenza. Se $b+1/2$ è pari allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo, quindi $a_b=b$ per ogni $b$.
Re: Una sequenza... naturale
scambret ha scritto:Se $b$ è dispari [...] allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo
Questo è vero se $\displaystyle\frac{b+3}2\le b-1$, ovvero per $b\ge5$...
Ma il povero 3 dove lo lasci?
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Re: Una sequenza... naturale
Vero!!! Bhe pero pongo $a_3=x$ quindi $a_5 \geq x+2$ e $a_{15} \geq x^2+2x$.Drago96 ha scritto:scambret ha scritto:Se $b$ è dispari [...] allora $(b+3)/2$ è dispari e equivalentemente, sempre per la crescenza trovo l assurdo
Questo è vero se $\displaystyle\frac{b+3}2\le b-1$, ovvero per $b\ge5$...
Ma il povero 3 dove lo lasci?
Inoltre $a_6=2x$ e $a_5 \leq 2x-1$ quindi $a_{10} \leq 4x-2$, $a_9 \leq 4x-3$ e $a_{18} \leq 8x-6$. Sempre perr la crescenza $a_{15}+3 \leq a_{18}$ quindi $x^2+2x \leq a_{15}+3 \leq a_{18} \leq 8x-6$ e quindi $x^2+2x+3 \leq 8x-6$ che diventa $(x-3)^2 \leq 0$, quindi x vale per forza 3.
Re: Una sequenza... naturale
Ok!
Dopo aver dimostrato la tesi per 3 si può fare un'induzione: per $n\ge2\rightarrow (n,n+1)=1$ e quindi puoi determinare $a_{n(n+1)}=n(n+1)$; ma per la crescenza, dato che hai un limite inferiore e un limite superiore molto stretti, puoi determinare tutti quelli che ci sono in mezzo e in particolare $a_{n+2}$
Dopo aver dimostrato la tesi per 3 si può fare un'induzione: per $n\ge2\rightarrow (n,n+1)=1$ e quindi puoi determinare $a_{n(n+1)}=n(n+1)$; ma per la crescenza, dato che hai un limite inferiore e un limite superiore molto stretti, puoi determinare tutti quelli che ci sono in mezzo e in particolare $a_{n+2}$
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Re: Una sequenza... naturale
Con il caso 3, la dimostrazione originaria non è chiusa?? 
Re: Una sequenza... naturale
sì, quello che ho postato era un altro metodo...
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