Inequazione.

[petroliopg]

Affatto banale....

$\displaystyle a,b,c \in \mathbb{R}_0^+; a+b+c=2$
$\displaystyle \frac {bc}{a^2+1} + \frac {ca}{b^2+1} + \frac {ab}{c^2+1} \le 1$

Note: con $\mathbb{R}_0$ indico i reali con zero.

[Gottinger95]

Visto che l' LHS è un espressione simmetrica in tre variabili, uso il metodo SPQ.
Posso scrivere l'LHS in termini di S,P,Q, che rappresentano rispettivamente la somma, il prodotto e la somma dei prodotti a coppie di a,b,c; lo posso fare perchè è simmetrico. Dunque ho:
\( \displaystyle LHS = R(S,P,Q)\)
dove R è un polinomio in tre variabili. Visto che R è di terzo grado e P pure, P comparirà solo da solo:
\( \displaystyle R(S,P,Q) = \alpha P + R'(S,Q)\)
dove R' è in polinomio in due variabili. Fissati S e Q, R è una combinazione lineare in P, perciò i suoi valori sono compresi tra il massimo e il minimo di P. Ma come può variare P? Sia G(x) un polinomio in x che ha come radici a,b,c :
\( \displaystyle G(X) = (x - a)(x-b)(x-c) = x^3 -Sx^2 + Qx - P\)
Se immaginiamo di tracciare il grafico di G(x), far variare P corrisponde a una traslazione verticale del grafico. Le proprietà che dobbiamo conservare traslando il grafico sono:
I) Il polinomio ha tre radici reali, dunque il grafico ha tre intersezioni con l'asse x;
II) Le tre radici sono > 0, perciò le intersezioni del grafico con l'asse x devono essere maggiori di 0.
I casi limite per queste condizioni si verificano quando la curva è tangente all'asse x (perchè poco oltre ci sarebbe una sola soluzione reale) - questo caso limite si presenta quando a=b - o quando un'intersezione è 0 - e questo si presenta quando a=0.
Perciò basta dimostrare la disuguaglianza in questi due casi limite e risulterà dimostrata per tutti i valori di a,b,c.

CASO 1: a=0
\(\displaystyle bc \leq 1\)
Vera perchè usando AM-GM e sfruttando che \(b+c=2\) ho:
\(\sqrt{bc} \leq \frac{b+c}{2} \rightarrow bc \leq 1 \)

CASO 2: a=b
\(\displaystyle \frac{2ac}{a^2 + 1} + \frac{a^2}{c^2 + 1} \leq 1 \)
Per risolvere questa devo dividere in tre sottocasi

Sottocaso 1: a > c
Se la disuguaglianza vale diminuendo il greater side (LHS), vale anche così. Per diminuirlo aumento un denominatore:

\(\displaystyle \frac{2ac}{a^2 + 1} + \frac{a^2}{a^2 + 1} \leq 1 \)

\(\displaystyle 2ac + a^2 \leq a^2 + 1 \)

\(\displaystyle 2ac \leq 1 \)

Ma questo è vero per lo stesso discorso del caso 1, ossia usando AM-GM su 2a,c.

Sottocaso 2: a = c = 2/3
Sosttituendo viene vera

Sottocaso 3: a < c
Ancora come per il Sottocaso 1 aumento un denominatore (stavolta trasformo la a in c):

\(\displaystyle \frac{2ac}{c^2 + 1} + \frac{a^2}{c^2 + 1} \leq 1 \)

\(\displaystyle 2ac + a^2 \leq c^2 + 1 \)

\(\displaystyle 2ac \leq 1 \land a^2 \leq c^2\)

la prima vera per le considerazioni al sottocaso 1, la seconda per ipotesi del caso in cui siamo.

Dunque la disuguaglianza risulta dimostrata

[fph]

Uhm, perché sostieni che l'espressione risultante è di primo grado in $P$? Se elimino i denominatori, mi viene un $a^2b^2c^2$.

[Gottinger95]

Ok, è tutto sbagliato non ho modo di recuperare la soluzione perchè è di grado 6, perciò R non è più una combinazione lineare ma un'equazione di secondo grado in P, e non saprei doavvero come cavarmela con massimo e minimo in quel caso...se sapete come fare l' SPQ, sarei contentissimo di vedere come
Ci riproverò in qualche altro modo nel frattempo, giurin giurello!

[Tess]

è tutto sbagliato

No, si può recuperare benissimo tutto il lavoro fatto. Basta notare che una funzione convessa assume il suo massimo sul bordo dell'intervallo in cui è definita.
È facile osservare che, dopo aver eliminato i denominatori, il polinomio in S, P, Q ha grado 2 in P; e se ti fai i due conti che servono vedi che ha coefficiente positivo quando è nella forma $ f(P)\leq 0 $; quindi quell'$f$ è una parabola convessa, allora basta controllare i casi al bordo, cioè $ a=0 $ e $ b=c $.

[fph]

Spiace fare sempre il rompiscatole, ma se non faccio qualche errore stupido il coefficiente di $a^2b^2c^2$ non è positivo...

[Tess]

Io intendo che abbia il coefficiente positivo quando è posto a sinistra e quando tutto è espresso in termini di S, P, Q. Infatti, per avere termini $P^2$ devo avere 6° grado, e in questa espressione le somme di 6° grado sono 2: a sinistra una somma dei termini $a^3b^3$ e a destra un $a^2b^2c^2$. Con un paio di conti la somma a sinistra si vede essere $Q^3-3SPQ+3P^2$ e qui il coefficiente di $P^2$ è maggiore di 1.
(poi essendo ovviamente una parabola non degenere, se fosse messa al contrario, non riuscirei a spiegarmi come possa assumere il valore richiesto dalla tesi sul bordo e stare tutta sotto quel valore... risulterebbe falsa anche la tesi )

[fph]

Io intendo che abbia il coefficiente positivo quando è posto a sinistra e quando tutto è espresso in termini di S, P, Q.

Ok, ora mi hai convinto!