Dato un intero $n\ge 3$, siano $a_2,a_3,\ldots,a_n$ dei reali positivi con prodotto $1$.
Dimostrare che $(1+a_{2})^{2}(1+a_{3})^{3}\dotsm (1+a_{n})^{n}> n^{n}$
(IMO 2012)
$(1+a_{2})^{2}(1+a_{3})^{3}\dotsm (1+a_{n})^{n}> n^{n}$
$(1+a_{2})^{2}(1+a_{3})^{3}\dotsm (1+a_{n})^{n}> n^{n}$
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $(1+a_{2})^{2}(1+a_{3})^{3}\dotsm (1+a_{n})^{n}> n^{n}$
Mi sa che ho sbagliato qualcosa, perchè è un po' troppo facile... 
Lemma: $\displaystyle(1+x)^n\ge x\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}$, per $x\ge 0$
Per AM-GM vale $\frac{1+x}n=\frac{\frac{1}{n-1}(n-1)+x}n\ge\sqrt[n]{x\left(\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}$.
Con un paio di passaggi si arriva al lemma.
Per il lemma, $\displaystyle(1+a_2)^2\ge a_2\frac{2^2}{1^1}$, $\displaystyle(1+a_3)^3\ge a_3\frac{3^3}{2^2}$, ecc...
Dato che abbiamo tutte quantità positive, possiamo moltiplicare tutti i RHS e tutti i LHS, ottenendo:
$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n\ge a_2\frac{2^2}{1^1}a_3\frac{3^3}{2^2}\cdots a_n\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}=a_2a_3\cdots a_n\cdot n^n=n^n$
Ora, guardiamo il caso di uguaglianza: tutte le singole disuguaglianze devono essere uguaglianze, ovvero per ogni $i$ deve valere $\displaystyle a_i = \frac{1}{i-1}$.
Quindi perchè valga l'uguaglianza tra tutti deve valere $\displaystyle(1+1)^2(1+\frac1 2)^3\cdots(1+\frac{1}{n-1})^n=\left(\frac2 1\right)^2\left(\frac3 2\right)^3\cdots \left(\frac{n}{n-1}\right)^n=\frac{2^23^3\cdots(n-1)^{n-1}n^n}{1^22^3\cdots(n-1)^n}=\frac{n^n}{(n-1)!}=n^n\rightarrow$
$\rightarrow1=(n-1)!$, che ha come unica soluzione $n=2$, in contrasto con l'ipotesi $n\ge 3$.
L'uguaglianza dunque non può mai sussitere e quindi $(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n$
Lemma: $\displaystyle(1+x)^n\ge x\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}$, per $x\ge 0$
Per AM-GM vale $\frac{1+x}n=\frac{\frac{1}{n-1}(n-1)+x}n\ge\sqrt[n]{x\left(\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}}$.
Con un paio di passaggi si arriva al lemma.
Per il lemma, $\displaystyle(1+a_2)^2\ge a_2\frac{2^2}{1^1}$, $\displaystyle(1+a_3)^3\ge a_3\frac{3^3}{2^2}$, ecc...
Dato che abbiamo tutte quantità positive, possiamo moltiplicare tutti i RHS e tutti i LHS, ottenendo:
$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n\ge a_2\frac{2^2}{1^1}a_3\frac{3^3}{2^2}\cdots a_n\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}=a_2a_3\cdots a_n\cdot n^n=n^n$
Ora, guardiamo il caso di uguaglianza: tutte le singole disuguaglianze devono essere uguaglianze, ovvero per ogni $i$ deve valere $\displaystyle a_i = \frac{1}{i-1}$.
Quindi perchè valga l'uguaglianza tra tutti deve valere $\displaystyle(1+1)^2(1+\frac1 2)^3\cdots(1+\frac{1}{n-1})^n=\left(\frac2 1\right)^2\left(\frac3 2\right)^3\cdots \left(\frac{n}{n-1}\right)^n=\frac{2^23^3\cdots(n-1)^{n-1}n^n}{1^22^3\cdots(n-1)^n}=\frac{n^n}{(n-1)!}=n^n\rightarrow$
$\rightarrow1=(n-1)!$, che ha come unica soluzione $n=2$, in contrasto con l'ipotesi $n\ge 3$.
L'uguaglianza dunque non può mai sussitere e quindi $(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)