pentagono

[ma_go]

questo è un problema per utenti meno esperti: pregherei chi non si senta davvero un novizio di non postare la soluzione...

supponete che la figura in allegato sia costruita a partire da un pentagono regolare, e che la stella (area bianca + area grigia) abbia area 1: quant'è l'area colorata di grigio?

[Robertopphneimer]

ma dobbiamo trovare esattamente il valore oppure..che ne so ti dò l'apotema il lato o roba del genere?

[ma_go]

voglio il valore esatto dell'area. comunque tu ti stai preparando per la sns, non sei considerato un novizio.

[auron95]

Io avevo pensato di fare così.....

Testo nascosto:

Il trapezio grigio può essere diviso in due punte della stella grande + un trapezio piccolo a sua volta divisibile in due triangoli (isosceli) da una sua diagonale. Quello acutangolo è congruente alle punte della stella (lato in comune e l'angolo opposto alla base, poichè è quello formato dalle diagonali in due pentagoni regolari), mentre quello ottusangolo è congruente a quello che si forma nella parte bianca in basso togliendo le due punte. In conclusione le parti bianca e grigia sono equivalenti perchè equiscomponibili (tre triangoli acutangoli + uno ottusangolo). L'area grigia è dunque $ \displaystyle \frac{1}{2} $

[Iceman93]

Forse novizio novizio non sono, ma neanche un campione XD

Posto la mia soluzione:

Testo nascosto:

Chiamiamo $ A, B, C, D, E $ i vertici esterni del pentagono, ed $ F, G, H, I, L $ quelli interni. Per metterci d'accordo, supponiamo che il quadrilatero sia di vertici $ ACHL $, e abbia la base maggiore passante per $ F $ e per $ G $.
Per ovvi motivi di simmetria, se $ FG\parallel HL $, è vero anche che $ FH\parallel IL $: dunque $ AFHL $ è un parallelogramma, formato da due "punte" accostate per il loro lato più corto. Ora tracciati i lati $ FH $ e $ HI $, si deduce facilmente che i triangoli $ FGH $ e $ HIL $ sono uguali (se vogliamo, per il terzo principio). A questo punto è facile notare che entrambe le aree, grigia e bianca, sono costituite da tre "punte" + un triangolo (dimostrato uguale ecc. ecc...): dunque hanno area pari. Se l'area totale era $ 1 $, l'area grigia (così come quella bianca) misura $ \frac{1}{2} $.