Integrale gaussiano
Moderatore: tutor
Poniamoci l\'obiettivo di calcolare quanto valga
<BR>
<BR>I = int[0..+inf] e^(-x^2) dx
<BR>
<BR>Ora
<BR>
<BR>4I^2 = int[ R ] e^(-x^2-y^2) dx dy
<BR>
<BR>ma la funzione z=f(x;y)=e^-(x^2+y^2) è simmetrica rispetto all\'asse z.
<BR>Questo significa che la possiamo integrare anche \"sommando\" la superficie
<BR>di tutte le circonferenze che la compongono (v. Teorema di Fubini)
<BR>
<BR>Posto d^2 = x^2+y^2 abbiamo
<BR>4I^2 = int[0..1] -pi ln(z) dz = pi
<BR>
<BR>da cui
<BR>int[0..+inf] e^(-x^2) dx = sqrt(pi)/2
<BR>
<BR>I = int[0..+inf] e^(-x^2) dx
<BR>
<BR>Ora
<BR>
<BR>4I^2 = int[ R ] e^(-x^2-y^2) dx dy
<BR>
<BR>ma la funzione z=f(x;y)=e^-(x^2+y^2) è simmetrica rispetto all\'asse z.
<BR>Questo significa che la possiamo integrare anche \"sommando\" la superficie
<BR>di tutte le circonferenze che la compongono (v. Teorema di Fubini)
<BR>
<BR>Posto d^2 = x^2+y^2 abbiamo
<BR>4I^2 = int[0..1] -pi ln(z) dz = pi
<BR>
<BR>da cui
<BR>int[0..+inf] e^(-x^2) dx = sqrt(pi)/2
Per il caso generale (integrale indefinito) non esistono soluzioni in termini di funzioni elementari, però è sempre possibile ricorrere a MacLaurin per ottenere approssimazioni numeriche affette da un errore piccolo a piacere.
<BR>Ex.
<BR>
<BR>e^(-x^2) = sum[j=0..+inf] (-1)^j x^(2j) / (j!)
<BR>
<BR>ed è lecito scrivere
<BR>
<BR>int e^(-x^2) = sum[j=0..+inf] (-1)^j x^(2j+1) / (2j*j!)
<BR>
<BR>Ex.
<BR>
<BR>e^(-x^2) = sum[j=0..+inf] (-1)^j x^(2j) / (j!)
<BR>
<BR>ed è lecito scrivere
<BR>
<BR>int e^(-x^2) = sum[j=0..+inf] (-1)^j x^(2j+1) / (2j*j!)
<BR>
I = int[0..+inf] e^(-x^2) dx
<BR>
<BR>Ora
<BR>
<BR>4I^2 = int[ R ] e^(-x^2-y^2) dx dy
<BR>
<BR>Perchè?
<BR>
<BR>cmq ave et vale o mastro jack!
<BR>Mircea
<BR>
<BR>P.S.:
<BR>e mi raccomando fai il culo ai giapponesi alle IMO!
<BR>
<BR>[addsig]
<BR>
<BR>Ora
<BR>
<BR>4I^2 = int[ R ] e^(-x^2-y^2) dx dy
<BR>
<BR>Perchè?
<BR>
<BR>cmq ave et vale o mastro jack!
<BR>Mircea
<BR>
<BR>P.S.:
<BR>e mi raccomando fai il culo ai giapponesi alle IMO!
<BR>
<BR>[addsig]
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>cmq ave et vale o mOstro jack!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>in ogni caso auguroni per tokyo
<BR>cmq ave et vale o mOstro jack!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>in ogni caso auguroni per tokyo
" 'Twas brillig, and the slithy toves
did gyre and gimble in the wabe.
So mismy were the borogroves,
and the mome raths outgrabe. "
did gyre and gimble in the wabe.
So mismy were the borogroves,
and the mome raths outgrabe. "