$1+2+...+n=m^3$

[jordan]

Trovare tutti gli interi $n,m$ interi positivi tali che $\displaystyle 1+2+\ldots+n = m^3$

[Hawk]

Riscriviamo come: $ n(n+1)=2m^3 $, analizzando $ \pmod{2} $ si ricava che o $ n $ o $ n+1 $ è pari.
Adesso poichè $ gcd(n,n+1)=1 $ si ha che:
$ \begin{cases} n=2a^3 \\ n+1=(2b+1)^3\end{cases} $ oppure $ \begin{cases} n=(2b+1)^3 \\ n+1=2a^3\end{cases} $

Adesso consideriamo il primo sistema e sottraiamo le equazioni ottenendo $ (2b+1)^3-2a^3=1 $. Mettiamo a confronto i numeri $ a $ e $ 2b+1 $. Supponiamo che $ a,2b+1>1 $, ovviamente deve essere $ a<2b+1 $, tuttavia è banale dimostrare che se anche la distanza tra $ 2b+1 $ ed $ a $ è minima, cioè sono numeri consecutivi, allora $ (2b+1)^3-2a^3>1 $. Detto questo si ricava che l'unica soluzione possibile sarebbe $ 2b+1=a=1 $, da cui si otterrebbe però $ n+1<n $.

Iteriamo il procedimento precedente anche con il secondo sistema, qui invece la soluzione $ 2b+1=a=1 $ funziona. Per cui l'unica coppia risolutiva è $ (m,n)=(1,1) $.

[jordan]

tuttavia è banale dimostrare che se anche la distanza tra $ 2b+1 $ ed $ a $ è minima, cioè sono numeri consecutivi, allora $ (2b+1)^3-2a^3>1 $.

Ci mostreresti questa cosa "banale"?