Il contrario del postulato di bertrand

[jordan]

Mostrare che per ogni intero $n > 4$ vale $\displaystyle \pi(2n)-\pi(n)< \frac{3n}{2\ln(n)}$, dove $\pi(x)$ indica il numero di primi $\le x$.

[dario2994]

Forse non ho capito il testo... ma non basta dire $n\le \frac 3 4 n\ln(n)$ per $n > 4$ ?
Forse era con $\ln(n)$ al denominatore...

[jordan]

Forse non ho capito il testo... ma non basta dire $n\le \frac 3 4 n\ln(n)$ per $n > 4$ ?
Forse era con $\ln(n)$ al denominatore...

Hai ragione, $\ln(n)$ e' al denominatore: scusatemi per la svista

[dario2994]

Ma questo è falso per $n=22$ e penso anche un bel po' dopo... forse intendevi era $\frac43$ e non $\frac34$

[jordan]

Certo che sto proprio fuori oggi; dal PNT $\pi(n) \sim n(\ln n)^{-1} \implies \pi(2n)-\pi(n) \sim n(\ln n)^{-1}$ per cui la tesi risulterebbe vera definitivamente solo se la costante $C=\frac{3}{4}$ viene sostituita con una piu' grande di $1$.

Ok, ora assicuro che la soluzione elementare esiste, e non è piu' lunga di una riga.

Grazie ancora dario2994.