Es. 7 del senior

[scambret]

determinare tutti i quadrati perfetti della forma $aabb$ in base 10.

[LeZ]

$ k^2=1100a+11b $, quindi $ k=11k_1, 11k_1^2=100a+b $. Analizzo modulo $ 11 $, $ a+b\equiv 0 \pmod{11} $, le coppie (non ordinate) sono solo $ (9,2) (8,3) (7,4) (6,5) $. Analizzo infine modulo $ 10 $ e scopro che$ k_1^2\equiv b \pmod{10} $, quindi $ b $ può valere soltanto $ 4,5,6,9 $. L'unica coppia che soddisfa la tesi è $ (7,4) $. Infatti $ 88^2=7744 $

[Drago96]

Oppure si fanno due conti ($11\cdot i^2, i\in\{4,5,6,7,8,9\}$) e si vede che l'unico con cifra delle decine 0 è $11\cdot 64=704$, da cui la coppia $(7,4)$

[EvaristeG]

oppure si è pigri: $11x^2$ deve fare a0b, quindi $x^2$ deve essere di due cifre e diciamo si scriva cd, ma allora $11x^2=100c+10(c+d)+d$ e dunque $c+d=10$, ma se adesso pensate ai quadrati da 16 a 81, l'unico in cui le cifre sommano a 10 è 64