38. Intersezione in un punto fisso

[Ido Bovski]

Sia $\Omega$ il circocerchio di $\triangle ABC$ e sia $X$ un punto variabile sull'arco $AB$ di $\Omega$ non contenente $C$. Siano $O_1$ e $O_2$ gli incentri di $\triangle CAX$ e $\triangle CBX$ rispettivamente. Dimostrare che il circocerchio di $\triangle XO_1O_2$ interseca $\Omega$ in un punto fisso.

[bĕlcōlŏn]

Beh iniziamo...

Il circocentro di $CO_2X$ è il punto medio $T$ dell'arco $CX$ che non contiene $B$. Analogamente il circocentro di $CO_1X$ è $S$ punto medio dell'arco $CX$ che non contiene $A$.

Testo nascosto:

Si ha subito $TX=TC$ a causa del fatto che sto considerando il punto medio dell'arco $CX$. Inoltre $B$, $O_2$ e $T$ sono allineati e $\angle XO_2T = \angle BXO_2 + \angle XBO_2 = \dfrac{\angle BXC}{2} + \dfrac{\angle XBC}{2} = \angle O_2XC + \angle TXC = \angle TXO_2 $. Quindi $XTO_2$ è isoscele e $TX=TO_2$ e $T$ è proprio il circocentro di $CO_2X$. Analogamente per l'altro.

A questo punto sia $\gamma_1$ il circocerchio di $CO_1X$ e $\gamma_2$ quello di $CO_2X$. Per prima cosa possiamo dire che essendo $\Omega$, $\gamma_1$ e $\gamma_2$ tre circonferenze coassiali, i loro centri sono allineati: dunque $O$, $S$ e $T$ sono allineati. ($O$ è il centro di $\Omega$)
Sia $O_3$ il circocentro di $XO_1O_2$ e $\gamma_3$ il suo circocerchio. Allora essendo $XO_1$ l'asse radicale di $\gamma_3$ e $\gamma_1$, si ha $SO_3 \perp XO_1$. Analogamente $TO_3 \perp XO_2$.

E' un velocissimo conto di angoli (che non faccio sennò dovrei continuare a definire lettere) mostrare che $ \angle O_3ST = \dfrac{\angle AXC}{2} $ e $\angle O_3TS = \dfrac{\angle BXC}{2}$ che chiaramente rimangono costanti al variare di $X$. Dunque al variare di $X$ sicuramente i triangoli $SO_3T$ ottenuti sono tutti congruenti e in particolare rimane fisso anche l'angolo che $OO_3$ forma con $ST$ (che sarebbe \angle O_3OT). Inoltre $CX$ è perpendicolare a $ST$, poiché $CX$ è l'asse radicale di $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Ma allora dato che l'angolo che $OO_3$ forma con $ST$ è costante, lo sarà anche l'angolo che $OO_3$ forma con $CX$ che è perpendicolare a $ST$.

Ora, se da $X$ traccio la perpendicolare a $OO_3$ ottengo l'asse radicale di $\gamma_3$ e $\Omega$ e dico $Y$ l'altra intersezione con $\Omega$. Sicuramente siccome l'angolo che $OO_3$ forma con $CX$ è costante, lo sarà anche l'angolo che $XY$ forma con $CX$, dato che $XY \perp OO_3$. Dunque $\angle YXC$ è indipendente dalla scelta di $X$ e quindi $Y$, l'altra intersezione di $\gamma_3$ e $\Omega$ è fissa.

[Ido Bovski]

Bene, vai pure avanti