$2^n-1 \mid f(n!)$ infinite volte

[jordan]

Trovare tutti i polinomi $ f(x) \in \mathbb{Z}[x] $ di grado $ 4 $ tali che $ 2^n-1 \mid f(n!) $ per infiniti interi positivi $ n $.

[dario2994]

Jordan me lo dai un hintino?

[<enigma>]

Hintino:

Testo nascosto:

tutti i polinomi descritti nel testo vanno bene.

Hintone:

Testo nascosto:

se la tesi è falsa per qualche $f$, deve essere $f(x)=\alpha x (x+1)(x^2+1)$ (perché?), ma...

[jordan]

In effetti non e' un problema banale come gli altri..l'hint di enigma va piu' che bene

[dario2994]

Devo essere completamente rintronato... Ho riletto il testo mille.volte e ancora non capisco dove dico la minchiata.
Il teorema di zsigmondy mi dice che esiste per ogni n un primo p tale che $ Ord_p(2)=n $ (trascurando gli n piccoli)
Ma allora vale $ n|p-1 $ e quindi p>n. E inoltre $ p|2^n-1 $.
Ma allora $ f(x)=x^4 $ non rispetta le richieste.

[jordan]

Devo essere completamente rintronato... Ho riletto il testo mille.volte e ancora non capisco dove dico la minchiata.
Il teorema di zsigmondy mi dice che esiste per ogni n un primo p tale che $ Ord_p(2)=n $ (trascurando gli n piccoli)
Ma allora vale $ n|p-1 $ e quindi p>n. E inoltre $ p|2^n-1 $.
Ma allora $ f(x)=x^4 $ non rispetta le richieste.

E' tutto corretto quello che dici. La minchiata sta nel fatto che enigma ha scritto (per sbaglio) nell'hint 1 che tutti i polinomi di grado 4 soddisfano la richiesta, mentre invece la risposta è nessuno.

[<enigma>]

ops, chissà perché pensavo invece ad un numero finito di $n$ XD... ovviamente la risposta è l'altra