Se [tex]\text{lcm}(a,b,c,d)=a+b+c+d[/tex]

[jordan]

Own. Siano fissati interi positivi $ a,b,c,d $. Mostrare che le due proposizioni sono equivalenti:
P1) $ \text{lcm}(a,b,c,d)=a+b+c+d $ e $ 3\nmid abcd $.
P2) Esiste un intero positivo $ \alpha $ tale che $ \{a,b,c,d\} $ e' una permutazione di $ \{\alpha, 4\alpha, 5\alpha, 10\alpha\} $ o di $ \{\alpha,2\alpha,2\alpha,5\alpha\} $.


Note $ \text{lcm}(x,y) $ e' il minimo comune multiplo tra $ x $ e $ y $.

Edit: testo editato dopo la soluzione di Kalu

[kalu]

Sia $ {lcm}(a, b, c, d)=a+b+c+d=S $
WLOG sia $ a \geq b \geq c \geq d $.
Se fosse $ a=b=c=d $, avrei che $ S=a=4a $: assurdo.
Sia $ k $ tale che $ ka=S=a+b+c+d $. Noto che $ a<a+b+c+d<4a $, quindi $ k $ vale 2 oppure 3.
Se 3 dividesse $ S $ allora almeno una variabile dovrebbe essere multipla di 3, ma ciò è falso per ipotesi. Perciò $ k=2 $.
Quindi $ a=b+c+d $ e $ S=2b+2c+2d $.
$ a, b, c $ non possono essere tutti uguali perchè altrimenti $ a $ sarebbe multiplo di 3.
Sia $ h $ tale che $ hb=S=2b+2c+2d $. Noto che $ 2b<2b+2c+2d<6b $, e $ S $ non può essere multiplo di 3 per quanto già detto. Quindi $ h $ vale 4 oppure 5; ossia $ b=c+d $ o $ 3b=2c+2d $ rispettivamente. Divido i due casi.

CASO A: $ b=c+d $
Se $ c=d $, $ S=lcm(2c+2d, c+d, c, d)=4c=4c+4d $: assurdo.
Sia $ t $ tale che $ tc=S=4c+4d $. Noto che $ 4c<4c+4d<8c $, quindi $ t $ vale 5 oppure 7 ($ S $ non è multiplo di 3).
Il caso $ t=7 $ è da escludere perchè porta a $ 3c=4d $, ma $ d $ non è multiplo di 3.
Il caso $ t=5 $ porta invece alla quaterna $ (a, b, c, d)=(10d, 5d, 4d, d) $, che soddisfa le ipotesi in quanto $ {lcm}(10d, 5d, 4d, d)=20d $.

CASO B: $ 3b=2c+2d $
Se $ c, d $ fossero uguali sarebbero entrambi multipli di 3, assurdo.
Sia $ t' $ tale che $ \displaystyle t'c=S=\frac{10}{3}(c+d) $. Noto che $ \displaystyle \frac{10}{3}c<\frac{10}{3}(c+d)<\frac{20}{3}c $, quindi $ t' $ vale 4 oppure 5 ($ S $ non è multiplo di 3).
Il caso $ t'=4 $ porta alla quaterna $ (a, b, c, d)=(10d, 5d, 4d, d) $, da scartare perchè si è posto $ b\geq c $
Il caso $ t'=5 $ porta invece alla quaterna $ (a, b, c, d)=(5d, 2d, 2d, d) $, che soddisfa le ipotesi in quanto $ {lcm}(5d, 2d, 2d, d)=10d $.

Riepilogando, le quaterne cercate sono tutte e sole le permutazioni di $ (10d, 5d, 4d, d) $ o di $ (5d, 2d, 2d, d) $

Own. Siano fissati interi positivi $ a,b,c,d $. Mostrare che le due proposizioni sono equivalenti:
P1) $ \text{lcm}(a,b,c,d)=a+b+c+d $ e $ 3\nmid abcd $.
P2) Esiste un intero positivo $ \alpha $ tale che $ \{a,b,c,d\} $ e' una permutazione di $ \{2^{\alpha}\cdot 5, 2^{\alpha-1}\cdot 5, 2^{\alpha+1}, 2^{\alpha-1}\} $ o di $ \{2^{\alpha},2^{\alpha+1},2^{\alpha+1},2^{\alpha}\cdot 5\} $.

Perchè vuoi che la mia $ d $ sia una potenza di 2?
PS: Che bei problemi che inventi!

[jordan]

Noto che $ 2b<2b+2c+2d<6b $, e $ S $ non può essere multiplo di 3 per quanto già detto.

Qui dovresti esplicitare che hai assunto wlog $b=\max\{b,c,d\}$.

Idem sotto, all'inizio del Caso B, assumendo che $c>d$.

Perchè vuoi che la mia $ d $ sia una potenza di 2?

Nella mia dimostrazione avevo imposto wlog $\text{gcd}(B,C,D)=1$, ed era giusto; il fatto è che poi mi son dimenticato di rimoltiplicare tutto.. te la posto sotto tra un attimo (non mi chiedere di tradurla pero' :/); intanto aggiusto il testo..

PS: Che bei problemi che inventi!

Thank you

[kalu]

Noto che $ 2b<2b+2c+2d<6b $, e $ S $ non può essere multiplo di 3 per quanto già detto.

Qui dovresti esplicitare che hai assunto wlog $b=\max\{b,c,d\}$.
Idem sotto, all'inizio del Caso B, assumendo che $c>d$.

Non hai letto il secondo rigo della mia soluzione

[jordan]

Non hai letto il secondo rigo della mia soluzione

In effetti

In allegato la mia..