$\lfloor (3+2\sqrt{2})^{2012} \rfloor$

[jordan]

Dovrebbe essere un esercizio abbastanza conosciuto.. chi lo risolve per primo?

Calcolare la parte intera di $(3+2\sqrt{2})^{2012}$

[LeZ]

Intanto $ (3+2\sqrt2)=(1+\sqrt2)^2 $. Prendo l'equazione $ x^2-2x-1=0 $, chiamo $ x_1 $ e$ x_2 $, le due soluzioni con $ x_1>x_2 $ e $ -1<x_2<0 $. la somma di $ x_1^{4024} + x_2^{4024} -1 $ (coniugati) mi da la soluzione.
$ a_n=x_1^{n}+x_2^{n}, $ tale successione può essere definita in questa maniera.. $ a_n=2a_{n-1}+a_{n-2} $. Non mi vengono in mente procedimenti più rapidi purtroppo.

[EvaristeG]

Hint a chi è nuovo (o turbato dalla soluzione di LeZ):

Testo nascosto:

$(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$ quindi ci basta calcolare la parte intera meno $1$ (perché? ) di $(3+2\sqrt{2})^{2012}+(3-2\sqrt{2})^{2012}$ che è più facile, no? (e come parte intera lascia un po' a desiderare )