Pulci, potete saltare quanto volete

[Ido Bovski]

Sia $n\ge 2$ un intero positivo e sia $\lambda$ un reale positivo. Inizialmente ci sono $n$ pulci su una linea retta, non tutte allo stesso punto. Scelte due pulci situate ai punti $A$ e $B$, con $A$ alla sinistra di $B$, una mossa consiste nel far saltare la pulce in $A$ sopra la pulce in $B$ fino al punto $C$, così che si abbia $BC/AB=\lambda$.
Determinare tutti i valori di $\lambda$ per cui, per ogni punto $P$ sulla retta e per ogni disposizione iniziale delle $n$ pulci, esiste una successione di mosse che sposti tutte le pulci alla destra di $P$.

p.s. ero indeciso se metterlo qui o in algebra, ma nel dubbio si sa che fine fanno i problemi...

[Troleito br00tal]

Testo nascosto:

Se almeno una pulce si trova alla destra di $P$ posso far saltare tutte quelle alla sua sinistra oltre $P$, vediamo quindi cosa succede se non ne esiste nessuna oltre $P$

Sia $\lambda \ge\ 1$

Riesco facilmente a portare almeno una pulce oltre $P$ in questo modo:
faccio saltare la pulce sinistra oltre la pulce più destra ogni volta.
Chiamiamo $d$ la distanza tra le due pulci estremali: si può notare che iterando il mio procedimento $d$ non diminuisce mai, inoltre, una delle 2 pulci si è avvicinata di almeno $2d$ a $P$. Quindi se $d>0$ (grazie a Dio non stanno sullo stesso punto) posso portarle dall'altra parte.

Sia ora $\lambda\ < 1$

Mi basta trovare un controesempio: utilizzo solo 2 pulci dislocate nei punti 0 e 1 della retta orientata. Pongo $P$ più a destra di $1/{1- \lambda}$.
Ogni volta che applico la mossa la distanza tra le due pulci dimininuisce geometricamente, di conseguenza la somma di tutte le distanze $d$ sarà limitata in appunto $1/{1- \lambda}$.
Per dimostrare che la configurazione in cui le pulci si avvicinano di più a $P$ è quella in cui si muovono sempre verso destra basta notare che sia che io faccia saltare l'una sia che io faccia saltare l'altra le nuova distanze $d$ saranno equivalenti: se a questo punto considero la retta orientata è ovvio che il massimo è la somma (se mi muovessi verso sinistra perderei un addendo ma la situazione non cambierebbe)

OMMIODDIO QUANTO SCRIVO MALE

[Ido Bovski]

Ehm, no, la tua soluzione va bene solo per $n=2$.

[Troleito br00tal]

Quindi tu vuoi un $\lambda$ in funzione di $n$, non uno generico? Ok, adesso ci penso.

[auron95]

Testo nascosto:

Per n = 3: Supponiamo che A sia a destra di B, che C sia sul segmento AB e che AB=1 (wlog).

Allora facento saltare B sopra A avanzo di $\lambda$ dopo A, poi facendo saltare A su B avanzo di $\lambda^2$ ecc.
Quindi posso avanzare di $\sum_{i=1}^k \lambda^i = \frac{\lambda^{k+1}-\lambda}{\lambda-1}$, per k grande quanto voglio.

Se $\lambda>1$ la somma può essere grande quanto voglio, mentre se è <1 tende a $\frac{\lambda}{1-\lambda} $
Questa sarà anche il limite della distanza tra C e i due punti A e B dopo un numero abbastanza grande di salti.
Ora se questo limite è $\geq 1$ mi ritrovo con un caso simile a quello di partenza, ma con una distanza maggiore (o uguale) tra le pulci che farò saltare (A e C) e inoltre la pulce più a destra è più a destra di A all'inizio. Quindi potrò ripetere il procedimento quanto mi pare e avanzare quanto voglio.
Se il limite è <1 la distanza percorsa diminuirà e a un certo punto non potrò più proseguire. Ne segue che $\lambda>1-\lambda \Rightarrow \lambda >\frac{1}{2}$

Sembra ora che la soluzione per un n generico sia $\lambda \ge 2^{2-n}$ ma sto ancora pensando a come dimostrarlo, penso per induzione...

[Ido Bovski]

Supponiamo che A sia a destra di B, che C sia sul segmento AB

Rileggi meglio le ipotesi...

[auron95]

Scusa non avevo notato che erano già stati usati A,B,C . Nella soluzione A, B, C sono le tre pulci, e non hanno alcun riferimento con i punti delle ipotesi. Avrei potuto tranquillamente chiamarle P, Q, R.

P.S. mi sono accorto che la formula generale che ho messo in fondo alla soluzione non è giusta. .
Devo ancora pensarci su un po'.

[auron95]

Direi che la soluzione è

Testo nascosto:

$\lambda \ge \frac{1}{n-1}$ (o forse vale solo la disuguaglianza stretta?)

Non riesco tuttavia a formalizzarlo, pensavo di lavorare per induzione su n utilizzando i limiti, ma non ho familiarità con questo operatore e non mi viene quello che mi aspetto.

Se qualcuno ha delle idee.....