Troppi cerchi

[EvaristeG]

Sia $ABC$ un triangolo (ma va??), $N$ sia il centro della sua circonferenza dei nove punti e $O$ sia il centro della sua circonferenza circoscritta.
Indichiamo con $D$, $E$, $F$ i centri delle circonferenze circoscritte a $BOC$, $COA$, $AOB$.
1) Mostrare che $AD$, $BE$, $CF$ concorrono in un punto $K$.
2) Mostrare che $K$ è il coniugato isogonale di $N$ (ovvero che $B\widehat{A}K=N\widehat{A}C$ e cicliche).

[kalu]

PARTE 1
Siano $ A', B', C' $ i punti medi di $ AO $, $ BO $, $ CO $.
$ \triangle A'B'C' $ è omotetico di $ \triangle ABC $ rispetto a $ O $, quindi ha anch'esso $ O $ per circocentro. [edit]
$ EF $, $ FD $, $ DE $ sono assi di $ AO $, $ BO $, $ CO $; quindi tangono il circocerchio di $ \triangle A'B'C' $: dunque $ O $ è l'incentro di $ \triangle DEF $.
$ A $, $ B $, $ C $ sono i simmetrici di $ O $ rispetto a $ EF $, $ FD $, $ DE $, quindi $ AD $, $ BE $, $ CF $ concorrono (nel punto di Gray di $ \triangle DEF $).

Testo nascosto:

Il perchè di questo è stato spiegato diverse volte su questo forum negli ultimi mesi, ma repetita iuvant (soprattutto se ripetendo si mostrano strade diverse).
Per il teorema dei seni applicato a $ \triangle ADE $ e $ \triangle ADF $, tenendo conto che $ AE=AF $ e che $ \angle AEF=\angle OEF=\frac{\angle DEF}{2} $, $ \angle AFE=\angle OFE=\frac{\angle DFE}{2} $, trovo che $ \displaystyle \frac{sen \angle ADE}{sen \angle ADF}=\frac{sen \angle DEA}{sen \angle DFA}=\frac{sen \angle DEF+sen \frac{\angle DEF}{2} }{sen \angle DFE+sen \frac{\angle DFE}{2} } $, da cui $ \displaystyle \prod_{cyc}{\frac{sen \angle ADE}{sen \angle ADF}}=1 $ e con Ceva trigonometrico concludo.

[EvaristeG]

Ok la parte 1.
A parte un "ortocentro" che in realtà vuol essere "circocentro", osserverei che, con più semplicità, si può osservare che
$BO=OC$ in quanto raggi e quindi $B\widehat{D}O=O\widehat{D}C$ in quanto angoli al centro su corde uguali, da cui $O$ è l'incentro di $DEF$.

[kalu]

Soluzione completa, con le trilineari. (o almeno ci provo)

PARTE 1

$ D=[\cos2\alpha \ : \ \cos(\alpha-\beta)\ : \ \cos(\gamma-\alpha)] $
$ E=[\cos(\alpha-\beta) \ : \ \cos2\beta \ :\ \cos(\beta- \gamma)] $
$ F=[\cos(\gamma-\alpha) \ : \ \cos(\beta- \gamma) \ : \ \cos2\gamma] $

Testo nascosto:

Mostro i calcoli per il punto $ D $; $ E $ ed $ F $ seguiranno per ciclicità.
Detto $ r=BD=OD=CD $, noto che $ \angle{BCD}=90-\frac{\angle{BDC}}{2}=-90+\angle{BOC}=-90+2\alpha $, da cui $ d(D, BC)=-r\cos2\alpha $.
Detta $ J $ la proiezione di $ D $ su $ CA $, $ d(D, CA)=r\sin\angle{DCJ}=r\sin(\angle{DCB}+\angle{BCA})=r\sin(\alpha-\beta+90)=r\cos(\alpha-\beta) $.
Ugualmente $ d(D, AB)=r\cos(\alpha-\beta) $.
Quindi $ D=[\cos2\alpha \ :\ \cos(\gamma-\alpha) \ :\ \cos(\alpha-\beta)] $.
(Ho cambiato il segno della coordinata riferita ad $ A $ dato che $ D $ si trova dalla parte opposta di $ BC $ rispetto a $ \triangle{ABC} $).

$ A=[1 \ : \ 0 \ : \ 0] $, $ B=[0 \ : \ 1 \ : \ 0] $, $ C=[0 \ : \ 0 \ : \ 1] $.

Retta per $ AD $: $ \ \cos(\gamma-\alpha)y-\cos(\alpha-\beta)z=0 $.
Retta per $ BE $: $ \ \cos(\alpha-\beta)z-\cos (\beta- \gamma)x=0 $.
Retta per $ CF $: $ \ \cos(\beta- \gamma)x-\cos (\gamma-\alpha)y=0 $.

Testo nascosto:

I coefficienti della retta per due punti sono il prodotto vettoriale delle coordinate dei due punti.

La matrice dei coefficenti delle tre rette ha determinante nullo, quindi le rette concorrono (in $ K $).

PARTE 2

$ \displaystyle K=[\cos(\gamma-\alpha)\cos(\alpha-\beta) \ : \ \cos(\alpha-\beta) \cos(\beta- \gamma) \ : \ \cos(\beta- \gamma)\cos(\gamma-\alpha)]=\biggl[\frac{1}{\cos(\beta- \gamma)} \ : \ \frac{1}{\cos(\gamma- \alpha)} \ : \ \frac{1}{\cos(\alpha- \beta)}\biggl] $

Testo nascosto:

Le coordinate dell'intersezione di due rette sono il prodotto vettoriale dei coefficienti delle due rette.

$ N=[\cos(\beta- \gamma) \ : \ \cos(\gamma- \alpha)\ : \ \cos(\alpha-\beta)] $

Testo nascosto:

Dette $ S $, $ T $ e $ M $ le proiezioni su $ BC $ rispettivamente di $ H $, $ N $ e $ O $ (e $ R $ il circoraggio), noto che $ \displaystyle NT=\frac{HS+OM}{2}=\frac{2R\cos\beta\cos\gamma+R\cos\alpha}{2}=\frac{2R\cos\beta\cos\gamma-R\cos(\beta+\gamma)}{2}=\frac{R\cos(\beta-\gamma)}{2} $
Le altre due coordinate seguono per ciclicità.

E questo conclude, perchè notoriamente le coordinate trilineari di due coniugati isogonali sono ordinatamente reciproche.