facile, facile (IUSS 09-10)

[fraboz]

es.1 Trovare il più piccolo numero con 100 divisori.

es. 2 Dati due numeri primi p, q tali che q = p + 2, dimostrare che, per $ p \geq 5 $:
a) p + q e` divisibile per 6;
b) Non esistono due numeri interi m, n tali che $ m^2 + n^2 = ( p + q )^2 − 1 $.

[Drago96]

Nel primo intendi almeno 100 divisori o esattamente 100 divisori?

Il secondo è moolto facile...

[LeZ]

Stessa domanda mia!
Hint per il 2.

Testo nascosto:

1. Che cosa c'è tra 2 primi consecutivi?
2. Che modulo potrei utilizzare?

[fraboz]

@Drago96 e @Lez ho riportato pari pari il testo... secondo me intende il più piccolo numero con esattamente 100 divisori.

[Robertopphneimer]

@Drago96 e @Lez ho riportato pari pari il testo... secondo me intende il più piccolo numero con esattamente 100 divisori.

Lcm? primi 100 numeri primi.

[jordan]

Lcm? primi 100 numeri primi.

Scherzi?

[nic.h.97]

2^99..?

[jordan]

$2^{99}$..?

No: $3^{24}\cdot 2^3$ e' già un esempio piu' piccolo

[nic.h.97]

l'esponente piu' piccolo(1) va al numero primo piu' grande.
Chiamo $ x $ l'esponente piu' grande che va al numero primo piu' piccolo (2) e devo trovare quanto deve valere affinchè tutte le possibili combinazioni siano uguali a 99? (poi c'è sempre l'1 )
gli esponenti partono da $ x $ che sara' assegnato al 2 , e finiscono ad 1 che andra' al numero primo piu' grande.
se avro' , ad esempio , x=3 ,allora avro' $ 2^3*3^2*5^1 $.
quindi da x ad 1 , gli esponenti diminuiscono sempre di 1 andando dal numero primo piu' piccolo al piu' grande.
----
Se abbiamo $ x=4 $
avremo come coefficienti 1 , 2 , 3 , 4 -------> le combinazioni possibili saranno date da
a) la somma di tutti i coefficienti ---> $ x(x+1)/2 $
b)$ (1*2+1*3+1*4)+(2*3+2*4)+(3*4) $
e quindi$ 1(2+3+4)+2(3+4)+3*4 $
quindi devo avere un x tale che a)+b) faccia 99

quindi lavoro sugli esponenti:


$ {x(x+1) \over 2} + 1( {x(x+1) \over 2}-1) + 2 ( {x(x+1) \over 2}-1-2) ....... + x(x-1) = 99 $

non so come si risolve questo calcolo .....
oppure prendo lo$ 0 $ che ha infiniti divisori
comunque è sbagliato il mio ragionamento?

[Drago96]

ad esempio , x=3 ,allora avro' $ 2^3*3^2*5^1 $

Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto, però questo numero non ha 100 divisori...
Però sì, direi che sei ha un tot di esponenti il più grande va al fattore più piccolo, eccetera... (per minimizzare, ovviamente)

[nic.h.97]

2ho scritto "se avro' , ad esempio , x=3 ,allora avro' 23∗32∗51."----> <Ad Esempio>
era per far capire cosa stavo intendendo , non ho mica detto che quel numero ha 100 divisori

[Drago96]

Ok, penso di aver capito...
Tu stai cercando una formula per il numero di divisori, giusto?
Bene, ti do un indizio: se scomponi un numero in fattori primi, avrai una cosa del tipo $p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}$; se ora prendi un qualunque divisore e scomponi anche quello avrai qualcosa tipo $p_j^{\beta_j}\cdot p_k^{\beta_k}\cdots p_h^{\beta_h}$, con $i,j\dots ,k\in\{1,2,\dots ,n\}$, tutti distinti, e $0\le\beta_i\le\alpha_i \ \ \forall \ i : 1\le i\le n$.
Ora, in quanti modi puoi prendere $p_1$? Puoi prenderlo con esponente 0, con esponente 1,... oppure con esponente $\alpha_1$. E $p_2$? E $p_n$? E la scelta dell'esponente di un $p_i$ influenza la scelta dell'esponente di un $p_j$?

[pexar94]

Sarà $ 2^4*3^4*5*7 $

[jordan]

Bisogna trovare il piu' piccolo intero $n>0$ tale che $\sigma_0(n)=2^2\cdot 5^2$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)\ge 5$ allora $\sigma_0(n)$ sarebbe diviso al almeno $5$ primi (non necessariamente distinti), il che e' assurdo.

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=4$ allora e' chiaro che il piu' piccolo $n$ e' $n_1:=2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=3$ allora dovremmo scegliere tre interi $\alpha \ge \beta \ge \gamma \ge 1$ tali che
\[ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=2^2\cdot 5^2 \]
da cui le sole possibilità $(\alpha,\beta,\gamma) \in \{(24,1,1),(9,4,1),(4,4,3)\}$. Considerato che
\[ 2^{24}\cdot 3\cdot 5 > 2^9\cdot 3^4\cdot 5 > 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^3\]
otteniamo che il minimo $n$ sotto il vincolo $\omega(n)=3$ e' $n_2:=2^4\cdot 3^4 \cdot 5^3$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=2$ allora abbiamo due sole possibilità: $2^9\cdot 3^9$ oppure $2^{24}\cdot 3^3$, da cui $n_3:=2^9\cdot 3^9$.

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=1$ allora $n_4:=2^{99}$.

Considerando i $5$ casi sopra, abbiamo $n_4>n_3>n_2>n_1$, per cui il piu' piccolo $n$ tale che $\sigma_0(n)=100$ e' $2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$. []

[nic.h.97]

ok, nel caso di w(n) = 4 , dobbiamo per forza distribuire 5 , 5 , 2, 2 a ciascun numero.
e nel caso w(n)=3 , dobbiamo distribuire 5^2 e 2^2 tra 3 numeri e quindi si distingono 3 casi
5^2 , 2 , 2
5 , 5 , 2^2
5*2 , 5 , 2 ...
si ho capito grazie