Equazione Irrazionale

[Dick]

Trova radice reale.
$ \frac {7}{\sqrt{x^2-10x+26} + \sqrt{x^2-10x+29} + \sqrt{x^2-10x+41}} = x^4-9x^3+16x^2+15x+26 $

[Karl Zsigmondy]

$$ RHS = x^4-9x^3+16x^2+15x+26 = (x^2+x+1)\cdot (x-5)^2 + 1 = [(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4})\cdot (x-5)^2 + 1 \geq 1 $$
E il caso di uguaglianza si raggiunge se e solo se x=5.
Le tre espressioni nelle radici al LHS invece sono:
$ x^2-10x+26 = (x-5)^2 +1 \ ; \ x^2-10x+29 = (x-5)^2 + 4 \ ; \ x^2-10x+41 = (x-5)^2 + 16 $
Esse si massimizzano tutte in 5, quindi il LHS si minimizza in 5 (in questo caso LHS=1) e consequentemente $ LHS \leq 1 $
Dato che $ LHS \leq 1 \leq RHS $ e che l'uguaglianza si verifica solo per x=5, l'unica soluzione reale è per x=5.