132. $x^4=y^2+z^2+4$

[jordan]

Mostrare che l'equazione $x^4=y^2+z^2+4$ non ha soluzione negli interi.

[LeZ]

Intanto, è noto che $ x^2+y^2=k $ ammette soluzioni se $ k $ non ha un fattore nella forma $ (4k+3)^{2n+1} $ e un fattore nella forma $ 3^{2n+1} $. Partendo da questo presupposto, scompongo l'equazione iniziale in $ (x^2-2)(x^2+2)=y^2+z^2 $. Ora, se $ x $ è diverso da $ 3x_1 $ allora uno solo dei due fattori di $ LHS $ è divisibile per $ 3 $, contro l'ipotesi di partenza.
Se$ x=3x_1 $ allora $ (9x_1^2-2)(9x_1^2+2)=y^2+z^2 $. se $ x $ è dispari, uno solo dei due fattori assume la forma $ (4k+3) $ contro l'ipotesi iniziale, mentre se $ x $ è pari, entrambi i fattori di $ LHS $ sono divisibili per $ 2 $. Quindi $ x_1=2x_2, (18x_2^2-1)(18x_2^2+1)=y^2+z^2 $ e qui è chiaro vedere che uno solo dei due fattori, di nuovo, è della forma $ 4k+3 $, contro l'ipotesi. Segue la tesi.

Rilancio, mostrare che non esistono soluzioni intere di $ x^4=y^2+z^2+k $ con $ k =2,5,10 $..

[jordan]

Ora, se $ x $ è diverso da $ 3x_1 $ allora uno solo dei due fattori di $ LHS $ è divisibile per $ 3 $, contro l'ipotesi di partenza.

Si, un solo fattore e' multiplo di $3$ se $3\nmid x$ (precisamente $3\mid x^2+2$): ma com'è concludi che in questo caso non esistono soluzioni?

[LeZ]

$ x^2+y^2 $ non è mai congruo a $ 3 $ o a $ 6 $ modulo $ 9 $. Da cui segue che, affinchè $ LHS $ possa essere espresso come somma di quadrati, è necessario che abbia almeno $ 2k $ fattori multipli di $ 3 $ (e solo $ 3) $. Ma $ LHS $ ne ha solo $ 1 $ in questo caso. Assurdo modulo $ 9 $.

[jordan]

$ x^2+y^2 $ non è mai congruo a $ 3 $ o a $ 6 $ modulo $ 9 $. Da cui segue che, affinchè $ LHS $ possa essere espresso come somma di quadrati, è necessario che abbia almeno $ 2k $ fattori multipli di $ 3 $ (e solo $ 3) $. Ma $ LHS $ ne ha solo $ 1 $ in questo caso. Assurdo modulo $ 9 $.

In pratica vuoi mostrare che $(x^2+2)(x^2-2)$ ha solo un numero dispari di fattori $3$: ora se $3\nmid x$ allora $x^2+2$ e' multiplo di $3$, mentre $x^2-2$ no; fin qui ok. Ma da dove deduci che il numero di fattori $3$ e' dispari? Metti che se $x_0=4$ allora $3^2 \mid x_0^2+2$..

[LeZ]

Aspio vero! I numeri della forma $ x_0 = 9k+4 $ non sono inclusi nel ragionamento, be, aggiungiamo; se $ x_0\equiv 4\pmod9 $ ,allora $ LHS $ ha un solo fattore della forma $ 4k+3 $, contro l'ipotesi iniziale stessa. (Basta sostituire a $ x, x_0 $ e risolvere modulo $ 4 $).

[jordan]

Allora, ci fermiamo qui?

[jordan]

Ok, l'equazione e' equivalente a $(x^2+2)(x^2-2)=y^2+z^2$:
i) qual è la parità di x,y,z?
ii) quali sono tutti e soli i numeri rappresentabili come somma di quadrati?
iii) quali primi possono dividere i due fattori nell'lhs?
iv) che succede mod 8?

[scambret]

Sfrutto l hint per capire qualcosa, ma non è completa.. Vedo che i residui quadratici modulo 8 sono 0,1,4 quindi il lhs puo valere (mod 8 )
4 se $x^2 \equiv 0,4 \pmod 8$
5 se $x^2 \equiv 1 \pmod 8$

Il rhs invece puo valere 0,1,2,4,5 (fatte tutte le somme possibili) e quindi escludo 0,1,2. Posso ottenere 4 se wlog $y \equiv 0 \pmod 4$ e $z \equiv 2 \pmod 4$ e posso ottenere 5 se wlog y é dispari e $z \equiv 2 \pmod 4$.

Inoltre vediamo il massimo divisore che divide i fattori del lhs cioe $(x^2+2,x^2-2)=(4,x^2-2)$ quindi il massimo divisore è 4. Ma $x^2-2 \not \equiv 0 \pmod 4$ perciò il massimo divisore è 2.

Caso 1
Se d=2 x è pari, $x=2a$ e quindi l equazione diventa $4(2a^2+1)(2a^2-1)=y^2+z^2$ quindi anche il rhs deve essere divisibile per 4, possibile solo se $y=2b$ e $z=2c$ e quidni $(2a^2+1)(2a^2-1)=b^2+c^2$. Se a è pari il lhs modulo 4 viene 3, assurdo perchè la somma di due quadrati non è mai congrua a 3 modulo 4.
Se a è dispari il lhs viene di nuovo 3, quindi assurdo.

Caso 2
d=1 cioè $x^2+2$ e $x^2-2$ sono coprimi e x dispari (per avere d=1) e $y^2+z^2 \equiv 5 \pmod 8$ quindi wlog y dispari e $z=4k+2$..

Da qui, non ho idee

[jordan]

Giusto, hai concluso il punto i): se una soluzione (x,y,z) allora x è dispari. Poi?

La ii) è un fatto noto, tanto è che Lez ha accennato qualcosa alla sua prima risposta..

Guida: mostrare che se un primo $p\equiv 1 \pmod 4$ allora esistono $x,y$ interi tali che $p=x^2+y^2$; mostrare infine che se $a$ e $b$ sono interi entrambi esprimibili come somma di quadrati allora lo è anche $ab$; concludere nel definire tutti e soli gli interi esprimibili come somma di quadrati

[jordan]

Se un primo $p$ divide $x^2+2$ allora $-2$ è un residuo quadratico, per cui $p$ che valori puo' assumere mod $8$? Lo stesso con $x^2-2$..

[jordan]

Ho capito, non v'è piaciuto proprio..

Dobbiamo avere $(x^2+2)(x^2-2)=y^2+z^2$ con $x,y,z$ interi. Se $x$ fosse pari si avrebbe un assurdo mod4; allora $x$ è dispari, e wlog $y$ dispari e $z$ pari. Un intero $m$ e' esprimibile come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione verifica $2\mid \upsilon_p(m)$ per ogni primo $p\equiv 3\pmod 4$ (è un fatto noto, ma comunque si puo' dimostrare senza difficoltà seguendo le risposte sopra). Adesso se un primo $q$ divide $x^2+2$ allora $-2$ è un residuo quadratico, e cioè avviene se e solo se $q\equiv 1 \pmod 8$ oppure $q\equiv 3\pmod 8$. Analogamente $q\mid x^2-2 $ sse $(\frac{2}{q})=1$ sse $q\equiv \pm 1 \pmod 8$. Abbiamo che $x^2+2$, $x^2-2$ e $y^2+z^2$ sono tutti dispari, in particolare $y^2+z^2$ puo' essere solo $1$ o $5$ modulo $8$: se fosse $1$ allora il residuo di $x^2+2$ è l'inverso di $x^2-2$ (e per ipotesi, differiscono di $4$), e non porta a nessuna soluzione. Resta il caso $y^2+z^2 \equiv 5 \pmod 8$: allora i residui di $x^2+2,x^2-2$ saranno $1,5$ oppure $3,7$, in qualche ordine. Dato che $x^2-2$ è dispari, e tutti i suoi divisori primi sono $\equiv \pm 1\pmod 8$ allora $x^2-2 \equiv \pm 1 \pmod 8$: cio' ci definisce l'ordine dei residui mod 8, se una qualche soluzione esiste: $x^2-2 \equiv 1 \pmod 8 $ e $x^2+2 \equiv 5 \pmod 8$, oppure $x^2-2 \equiv -1 \pmod 8$ e $x^2+2 \equiv 3 \pmod 8$. Ma $x^2+2$ è dispari, e $x$ è dispari, per cui $x^2+2 \equiv 3 \pmod 8$. Affinchè $x^2+2$ sia $3$ mod 8 pero' è necessario che nella sua fattorizzazione compaia un numero dispari di primi $\equiv 3 \pmod 8$ (che, per quanto detto prima, non possono comparire nella fattorizzazione di $x^2-2$). Cio' è sufficiente a concludere che $(x^2+2)(x^2-2)$ non puo' essere espresso come somma di due quadrati. []

Appena ho 5 minuti, metto il problema nuovo..