$x!y!\text{ divide }z!$

[jordan]

Siano dati interi positivi $x,y,z$ tali che
\[ x!y!\text{ divide }z! \]

Mostrare che esiste una costante assoluta $k$ tale che $x+y<z+k\ln z$

[nic.h.97]

x=1 e y=z
o viceversa
y=1 e x=z
----
poi penso che non ce ne siano altre ... per il fatto che se x e y sono diversi da 1 allora z sara' piu' grande del piu' grande tra x e y , e penso che incontrerebbe un nr primo.
Se è cosi non so dimostrarlo

[ma_go]

e invece ce ne sono altre: ad esempio $(n!)! = (n!-1)!\cdot n!$. e poi c'è anche $10! = 6!7!$.
lasciatemi aggiungere che non so se ce ne siano altre, e che non so se sapere la soluzione sia un hint (non c'ho pensato, e non ho una soluzione, mi ricordavo solo che c'era questa simpatica terna "piccola", e sono capitato per caso su $6! = 5!3!$, che è della prima forma).

[jordan]

..lasciatemi aggiungere che non so se ce ne siano altre, e che non so se sapere la soluzione sia un hint (non c'ho pensato, e non ho una soluzione, mi ricordavo solo che c'era questa simpatica terna "piccola", e sono capitato per caso su $6! = 5!3!$, che è della prima forma).

Difatti mi spiace ma non sono sicuro del testo Cambio la tesi per il momento con una piu' debole
Grazie del commento

[Ido Bovski]

Per quanto ho capito, il testo iniziale chiedeva di trovare le soluzioni di $x!y!=z!$. Questo è un problema aperto e non si conoscono altre terne non banali che risolvono all'infuori di quella detta da ma_go (e si sa anche che non ce ne sono altre con $z\le18160$).
Comunque questo thread potrebbe anche essere chiuso, visto che jordan ha postato lo stesso problema anche qui.

[jordan]

[...] visto che jordan ha postato lo stesso problema anche qui.

Lo sapevo, difatti era qualcosa di temporaneo, stavo cercando di risolvere quello che avevo postato all'inizio; fa nulla, visto che e' un problema aperto, mi hai risparmiato un bel po' di tempo

[nic.h.97]

comunque , per il problema di prima , se prendiamo un x! = n
avremo che n*(n-1)! = n!
la prossima terna che rispetta la regola che ho scritto sopra è
x!=4!=24
4!23!=24!
-----
poi si potrebbe fare la stessa cosa con un x! = n = m * (m+1)
.... x!= m * (m+1) * (m+2)
e si puo ' continuare cosi' all'infinito

[kalu]

comunque , per il problema di prima , se prendiamo un x! = n
avremo che n*(n-1)! = n!
la prossima terna che rispetta la regola che ho scritto sopra è
x!=4!=24
4!23!=24!
-----
poi si potrebbe fare la stessa cosa con un x! = n = m * (m+1)
.... x!= m * (m+1) * (m+2)
e si puo ' continuare cosi' all'infinito

Così dimostri che l'equazione $ x!y!=z! $ ha infinite soluzioni, ma non le trovi tutte.
Potrebbero esistere altre soluzioni diverse da quelle banali della forma $ (n!-1, n, n!) $, e infatti Mago ne ha trovata anche una: $ (7, 6, 10) $.
Devi rassegnarti, il problema a quanto pare è aperto, cioè nessuno l'ha mai risolto

[jordan]

Esatto Kalu; @Ido Bovsky: nel frattempo ho cambiato il problema all'altro link, visto che non c'era nessuna risposta..

[Ido Bovski]

Up! Il problema è davvero carino. Lascio un hint:

Testo nascosto:

$v_2(n!)\le n-s_2(n)$