$p\mid n^{n+1}+(n+1)^n$
$p\mid n^{n+1}+(n+1)^n$
Trovare tutti i primi $p$ tali che esistono infiniti interi $n$ con $p\mid n^{n+1}+(n+1)^n$.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $p\mid n^{n+1}+(n+1)^n$
$ p=2 $ non va bene perchè $ n^{n+1}+(n+1)^n $ è sempre dispari.
Se $ p>2 $, sia $ k=p(p-1)t+p-2 $ per qualche $ t\geq 0 $.
Allora: $$k^{k+1}+(k+1)^k=(p(p-1)t+p-2)^{p(p-1)t+p-1}+(p(p-1)t+p-1)^{p(p-1)t+p-2}\equiv (-2)^{p-1}+(-1)^{p-2} \equiv 0 \pmod{p}$$ Dove $\ (-1)^{p-2}=-1 \ $ perchè $\ p-2 \ $ è dispari.
Quindi, potendo scegliere qualsiasi $t \geq 0$, soddisfano tutti (e soli) i primi dispari.
Se $ p>2 $, sia $ k=p(p-1)t+p-2 $ per qualche $ t\geq 0 $.
Allora: $$k^{k+1}+(k+1)^k=(p(p-1)t+p-2)^{p(p-1)t+p-1}+(p(p-1)t+p-1)^{p(p-1)t+p-2}\equiv (-2)^{p-1}+(-1)^{p-2} \equiv 0 \pmod{p}$$ Dove $\ (-1)^{p-2}=-1 \ $ perchè $\ p-2 \ $ è dispari.
Quindi, potendo scegliere qualsiasi $t \geq 0$, soddisfano tutti (e soli) i primi dispari.
Pota gnari!
