$n^3<a<b<c<(n+1)^3$ e $abc=d^3$

[jordan]

Mostrare che se $n$ e' sufficientemente grande allora esistono interi $a,b,c$ tali che $abc$ e' un cubo e $n^3<a<b<c<(n+1)^3$.

[Troleito br00tal]

Testo nascosto:

Sì vabbé prendo $a^2; a^2+a; a^2+2a+1$ e per $n$ grande esiste $a$ per questa roba:
-assurdo su 2 quadrati consecuitivi: esistono sicuramente tra $n^3$ e $(n^{\frac{3}{2}}+2)^2$ (ovviamente se prendo le radici e aggiungo 2 avrò almeno due naturali che salto), ma questo è sicuramente minore di $(n+1)^3$:
\begin{equation}
(n^{\frac{3}{2}}+2)^2<(n+1)^3
\end{equation}
\begin{equation}
n^3+4+2n^\frac{3}{2}<n^3+3n^2+3n+1
\end{equation}
Che per $n$ grande è verificata in quanto il mio LHS è di grado $\frac{3}{2}$ e il mio RHS $2$

[Troleito br00tal]

Sì ok il coefficiente alla fine non è 2 ma è 4, comunque non cambia nulla.

[jordan]

Sì ok il coefficiente alla fine non è 2 ma è 4, comunque non cambia nulla.

Esiste la funziona "modifica" xd

Comunque, la soluzione e' corretta, anche se l'avresti potuta scrivere meglio, ad esempio esplicitando direttamente il valore di $a$ (avresti potuto anche usare una delle altre lettere visto che la $a$ era già nel testo)..

[Troleito br00tal]

ad esempio esplicitando direttamente il valore di $a$

Cosa intendi? Comunque effettivamente $a$ non è stata una scelta geniale ahah

[jordan]

Intendo qualcosa del tipo $(a,b,c)=(x^2,x(x+1),(x+1)^2)$ con $x=\left\lceil \sqrt{n^3+1} \right\rceil$..