EDIT: c'è una serie, e non credo che ci sia una soluzione del tutto elementare, quindi metto in MNE. mi stupirei se ci fosse una soluzione che non fa uso di roba "avanzata". ma_go
Provare che
$$\sum_{\gcd(a, b)=1} \left( \frac{1}{ab} \right)^2=\frac{5}{2}.$$
E chi l'avrebbe mai detto!?
Re: E chi l'avrebbe mai detto!?
Visto che l'avete spostato in MNE:
Bonus: Mostrare che per ogni intero $n\ge 1$ e interi $s_1,s_2,\ldots,s_n\ge 2$ vale
\[ \displaystyle\sum_{\gcd(a_1, \ldots, a_n) = 1} \frac1{a_1^{s_1} a_2^{s_2} \ldots a_n^{s_n}} = \frac{\zeta(s_1) \;\!\zeta(s_2)\cdots\zeta(s_n) }{\zeta(s_1 + s_2 + \ldots + s_n)} \]
Bonus: Mostrare che per ogni intero $n\ge 1$ e interi $s_1,s_2,\ldots,s_n\ge 2$ vale
\[ \displaystyle\sum_{\gcd(a_1, \ldots, a_n) = 1} \frac1{a_1^{s_1} a_2^{s_2} \ldots a_n^{s_n}} = \frac{\zeta(s_1) \;\!\zeta(s_2)\cdots\zeta(s_n) }{\zeta(s_1 + s_2 + \ldots + s_n)} \]
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: E chi l'avrebbe mai detto!?
Direi che era molto più difficile prima che ci mettessi quel bonus...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Re: E chi l'avrebbe mai detto!?
Lo so, ma tanto vale..fph ha scritto:Direi che era molto più difficile prima che ci mettessi quel bonus...
The only goal of science is the honor of the human spirit.