$$\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}<L$$
Se l ho fatta io, vuol dire che è facile
Disuguaglianza da ammissione winter camp
Disuguaglianza da ammissione winter camp
Sia $a_n$ una successione t.c. $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ e $a_1$=2. Trovare il più piccolo L reale t.c. per ogni $k \in \mathbb{N}$ valga la seguente disuguaglianza
$$\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}<L$$
Se l ho fatta io, vuol dire che è facile
$$\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}<L$$
Se l ho fatta io, vuol dire che è facile
Re: Disuguaglianza da ammissione winter camp
Dimostro che $a_n=a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{n-1}+1$ per induzione.
Passo base: $a_2=a_1+1$? Vero perchè $a_2=4-2+1$
Dimostro che se è valido per $n$ vale anche per $n+1$.
$a_{n+1}= a_n^2-a_n+1 = a_n(a_n-1)+1$
$a_n-1= a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{n-1}$ per ipotesi induttiva. Quindi sostituendo ottengo:
$a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1} \cdot ... \cdot a_1+1$ che è quello che volevo dimostrare.
Ora con un'altra induzione dimostro che quella sommatoria vale: $\displaystyle \frac{a_{k+1}-2}{a_{k+1}-1}$
Passo base:
con $k=1$ ottengo $\frac{1}{a_1}= \frac{1}{2}= \frac{a_2-2}{a_2-1}$ OK.
Dimostro che se è valida per un certo $k$ vale anche per $k+1$.
$\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+ \frac{1}{a_k}+\frac{1}{a_{k+1}}= \frac{a_{k+1}-2}{a_{k+1}-1}+\frac{1}{a_{k+1}}$ per ipotesi induttiva.
Svolgendo i conti si ottiene:
$\displaystyle \frac{a_{k+1}^2-a_{k+1}-1}{(a_{k+1}-1)(a_{k+1})}$ Per la cosa dimostrata prima il denominatore vale $a_1\cdot ... \cdot a_{k+1}=a_{k+2}-1$
Il numeratore vale $a_{k+2}-2$, quindi ho dimostrato ciò che volevo dimostrare.
Ora siccome la successione è strettamente crescente, avrò che con $k$ tendente a infinito il valore $\frac{a_{k+1}-2}{a_{k+1}-1}$ tenderà a $1$.
Quindi $L=1$.
Passo base: $a_2=a_1+1$? Vero perchè $a_2=4-2+1$
Dimostro che se è valido per $n$ vale anche per $n+1$.
$a_{n+1}= a_n^2-a_n+1 = a_n(a_n-1)+1$
$a_n-1= a_1\cdot a_2\cdot ... \cdot a_{n-1}$ per ipotesi induttiva. Quindi sostituendo ottengo:
$a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1} \cdot ... \cdot a_1+1$ che è quello che volevo dimostrare.
Ora con un'altra induzione dimostro che quella sommatoria vale: $\displaystyle \frac{a_{k+1}-2}{a_{k+1}-1}$
Passo base:
con $k=1$ ottengo $\frac{1}{a_1}= \frac{1}{2}= \frac{a_2-2}{a_2-1}$ OK.
Dimostro che se è valida per un certo $k$ vale anche per $k+1$.
$\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+ \frac{1}{a_k}+\frac{1}{a_{k+1}}= \frac{a_{k+1}-2}{a_{k+1}-1}+\frac{1}{a_{k+1}}$ per ipotesi induttiva.
Svolgendo i conti si ottiene:
$\displaystyle \frac{a_{k+1}^2-a_{k+1}-1}{(a_{k+1}-1)(a_{k+1})}$ Per la cosa dimostrata prima il denominatore vale $a_1\cdot ... \cdot a_{k+1}=a_{k+2}-1$
Il numeratore vale $a_{k+2}-2$, quindi ho dimostrato ciò che volevo dimostrare.
Ora siccome la successione è strettamente crescente, avrò che con $k$ tendente a infinito il valore $\frac{a_{k+1}-2}{a_{k+1}-1}$ tenderà a $1$.
Quindi $L=1$.
