62. Altra funzionale

[Drago96]

Determinare tutte le $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tali che $\forall \ x,y\in\mathbb R$ valga $$f(x)\cdot f(y)=f(x+y)+xy$$

[scambret]

$f(x)f(y)=f(x+y)+xy \ \forall \ x,y \in \mathbb{R}$
Pongo $x=0$ e perciò diventa
$f(0)f(y)=f(y)$

Distinguo due casi
Caso 1
$f(0)=1$
Pongo nell'equazione data $y=-x=1$ e ottengo
$f(y)f(-y)=f(y-y)+y(-y)$ e quindi $f(y)f(-y)=1-y^2 \Rightarrow f(1)f(-1)=0$

Abbiamo altri due sottocasi
Caso 1.a
$f(1)=0$
Nell'equazione iniziale pongo $x=1$ e ottengo $0=f(y+1)+y$ e quindi $f(y+1)=-y$. Questa è una soluzione, che per verifica diretta funziona.

Caso 1.b
$f(-1)=0$
Nell'equazione iniziale pongo $x=-1$ e ottengo $0=f(y-1)-y$ e quindi $f(y-1)=y$. Questa è una soluzione, che per verifica diretta funziona.


Caso 2
$f(0) \neq 1$ perciò $f(y)=0 \ \forall \ y \in \mathbb{R}$. Sostituisco nell'equazione principale e trovo che $0=xy$ vero solo per $x=0 \vee y=0$. Perciò sono solo due valori che verificano e qundi non vale $\forall \ x \in \mathbb{R}$.

Perciò le soluzioni sono $f(x)=1-x$ e $f(x)=x+1$.

[Drago96]

Bene, a te il prossimo