Esagono equiangolo - oliforum contest, probl 3

[jordan]

Mostrare che se un esagono equiangolo ha (in ordine) lati $a,b,c,d,e,f$ allora $a-d=e-b=c-f$.

[auron95]

Testo nascosto:

Considero i lati come vettori, con verso rivolto al vertice successivo, in modo che $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}=0$
Ora $\overrightarrow{a}$ e $\overrightarrow{d}$ sono ovviamente antiparalleli in quanto gli angoli sono tutti di 120°, e lo stesso vale per le altre coppie.

Se sommo a due a due i vettori antiparalleli ottengo 3 vettori, le cui direzioni sono tre rette che formano angoli di 60° quando si intersecano, e ovviamente i vettori devono formare angoli di 120° tra di loro, altrimenti la somma vettoriale non potrebbe essere 0.
Inoltre sommandone due dobbiamo ottenere un vettore con stessa direzione del terzo e verso opposto, ma siccome la retta su cui sta il terzo è la bisettrice dei primi due, allora la diagonale del parallelogrammo formato da essi dev'essere anche bisettrice, quindi il parall. è un rombo. Da ciò si deduce che i tre vettori somma sono anche uguali in modulo.

Ma per quanto detto prima se
$||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}||=||\overrightarrow{e}+\overrightarrow{b}||=||\overrightarrow{c}+\overrightarrow{f}||$
allora
$|a-d|=|e-b|=|c-f|$
(sono antiparalleli a due a due)

Resta solo da dimostrare che concordano anche in segno.
Questo si può vedere facilmente, infatti i tre vettori somma hanno lo stesso verso di $\overrightarrow{a},\overrightarrow{c},\overrightarrow{e}$ (oppure tutti il verso opposto)
poichè devono formare angoli di 120°. Quindi a>d, e>b, c>f (o viceversa se hanno tutti verso opposto).

[jordan]

Si', è giusta; qualche altra soluzione piu' "immediata"?

[Drago96]

Prolungo tutti i lati da entrambe le parti: si formano 6 triangoli equilateri all'esterno (ci sono angoli supplementari a 120°); ma si formano quindi anche 2 grandi triangoli equilateri (hanno angoli da 60°), ed ogni lato è la somma di tre lati dell'esagono. Imponendo l'uguaglianza tra due lati di uno dei due grandi triangoli si semplifica il lato dell'esagono presente in entrambi i lati del triangolo e viene l'uguaglianza tra le differenze; prendendo altri due lati si fa lo stesso ragionamento e si ottiene l'uguaglianza tra altre due differenze, e quindi l'uguaglianza tra tutte le differenze.

Ok, è scritta incasinata, ma se lo disegnate si capisce subito...

[fph]

Vedi anche il problema 1 di Cesenatico 2001, molto simile.

[jordan]

Esattamente

@fph: non lo ricordavo proprio, altrimenti lo avrei sostituito..

[fph]

Non è grave --- ci sono così tante gare e così poche idee carine per i problemi 1 che è facile incappare in somiglianze come questa. Tanto i vecchiacci che hanno fatto Cesenatico 2001 ormai sono tutti fuori dai giochi

[karlosson_sul_tetto]

Io avevo fatto la stessa soluzione di Auron, solo che avevo scomposto i vettori b,c, e, f in orizzontali (paralleli ad a) e verticali, veniva un pò più semplificato