63. Disuguaglianza

[scambret]

Dopo tante funzionali, finalmente una disuguaglianza.. Dimostrare che per ogni a,b e c numeri reali positivi tali che $abc=8$ si ha

$$\displaystyle \sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}} \geq \frac{4}{3}$$

[matty96]

Riscrivo come $$\frac{a^2(c^3+1)\sqrt{(b^3+1)(a^3+1)}+b^2(a^3+1)\sqrt{(c^3+1)(b^3+1)}+c^2(b^3+1)\sqrt{(c^3+1)(a^3+1)}}{(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)} \geq \frac{4}{3}$$ . Chiamo $f(a,b,c)$ il numeratore del LHS. Per GM-HM ho $$f(a,b,c) \geq \sum_{cyc}\frac{2a^2(c^3+1)(b^3+1)(a^3+1)}{a^3+b^3+2} \geq \frac{4}{3}(c^3+1)(b^3+1)(a^3+1)$$ da cui $$\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^3+b^3+2} \geq \frac{2}{3}$$.
Applicando CS, si ha $$\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^3+b^3+2}(\sum_{cyc}a^3+b^3+2) \geq (a+b+c)^2$$ cioè $$2\sum_{cyc}\frac{a^2}{a^3+b^3+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+3} \geq \frac{4}{3}$$
che equivale a mostrare $$(a+b+c)^2 \geq \frac{4}{3}(a^3+b^3+c^3+3)=4(\frac{a^3+b^3+c^3}{3})+4 \geq 4(a^3b^3c^3)^{\frac{1}{3}}+4\geq 36$$ ed è vero ; infatti il minimo che può assumere $(a+b+c)^2$ è dato da $$\frac{a+b+c}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}}$$ che equivale a $(a+b+c)^2\geq 6^2=36$

[scambret]

Mi pare che è giusta.. Il testimone è tuo

[patatone]

Attento perchè la tua soluzione è sbagliata! Tu alla fine hai dimostrato che sia lhs che rhs sono maggiori di qualcosa ma non li hai messi in relazione tra loro... Tra l'altro la disuguaglianza a cui sei arrivato mi pare falsa...

[scambret]

Vabbe sono stato troppo clemente allora qualcuno trova una soluzione???? Mega hint

Testo nascosto:

$\sqrt{a^3+1} \leq qualcosa$
Trovato quel qualcosa sono conti

..

[matty96]

Caspita! me lo aspettavo che all'ultimo fosse sbagliato...c'era qualcosa che non tornava...
Sfruttando l'hint credo che dovrebbe venire $\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$, quindi LHS $\geq \sum_{cyc}\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} \geq \frac{4}{3}$ cioè dobbiamo dimostrare
$6a^2+6b^2+6c^2+3a^2b^2+ 3b^2c^2+3c^2ìa^2\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$ ovvero $2a^2+2b^2+2c^2+a^2b^2 +b^2c^2+c^2a^2 \geq 72$ (sperando che non ho sbagliato i conti).
Ora se provo che $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 4ab+4bc+4ca$ dovrei aver vinto (ammesso che sia vera). La riscrivo come $\sum_{sym}(a^2b^2-4ab) \geq 0$. Questa è vera? se a,b,c fossero maggiori di 1 sicuramente. Il problema sta quando $ab<4$, ma in questo caso dovrebbe valere $\sum_{sym}(a^2b^2-abc^2)\geq 0$ per bunching , ma se ab<4 allora $c^2>4$ per cui il problema dovrebbe essere risolto...
non sono tanto abile con le disuguaglianze non è ho fatte molte...diciamo che sto imparando in questi giorni

[scambret]

Purtroppo non l ho ben capita

[matty96]

Si ti capisco, non era proprio una soluzione ma una cosa di cui sono ancora incerto...ad ogni modo
Partiamo dalla seconda parte che è il mio dubbio. Devo dimostrare che $\sum_{cyc}a^2b^2 \geq \sum_{cyc} 4ab$ . Sostanzialmente questa la posso scrivere anche come $\sum_{sym}a^2b^2 \geq \sum_{sym} 4ab$ cioè $\sum_{sym}(a^2b^2-4ab)\geq 0$ . Ora dato che sto considerando i valori , $ab,bc,ca$ si deve avere che almeno uno di questi deve essere minore di 4 escluso il caso di uguaglianza (altrimenti $(abc)^2 >64$). Dico che è $ab$ come definito nella somma simmetrica. Allora $c^2>4$, ma essendo per bunching (è qua che sono insicuro) $\sum_{sym}(a^2b^2-abc^2)\geq 0$ la disuguaglianza doverbbe essere vera. Se mi confermi questa ti spiego il resto, altrimenti è inutile che io continui...il resto è solo conti

[Ido Bovski]

Intervengo perché mi è stato chiesto esplicitamente da matty96.
Allora, sì, $\sum_{sym}(a^2b^2-a^2bc)\ge 0$ è vera per bunching. Se proprio non ti convince usi AM-GM e hai che $a^2b^2+a^2c^2\ge 2a^2bc$.
Più che altro non è chiaro come dimostri che $\sum_{sym}a^2bc\ge \sum_{sym}4ab$. Ok, è chiaro che per la tua ipotesi aggiuntiva $abc^2>4ab$, ma per gli altri termini? Come puoi dire ad esempio che $a^2bc>4bc$ ?

[scambret]

Il primo bunching è corretto, ma poi (forse non so io ) non so come dimostri che $\sum_{sym} a^2bc \geq \sum_{sym} 4ab$

Edit: visto adesso quello di Ido (molto più completo). A proposito, se vuoi continuare, credo che sia meglio non interrompere (non so come si usa, ma almeno è una bella iniziativa e non credo che ci sia bisogno di interromperla)

[machete]

Mi sembra che così funzioni, usando l' hint come proposto da Matty96 (intendo: $ \sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2} $) e arrivati come lui al punto:

$ \displaystyle LHS \geq \sum_{cyc}\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} \geq \frac{4}{3} $

Chiamiamo per comodità $ x:=a^2 $ e $ y:=b^2 $ e $ z:=c^2 $ e il vincolo diviene $ \displaystyle xyz=64 $ ora dobbiamo far vedere che:

$ \displaystyle \sum_{cyc} x(z+2)\geq \frac {1}{3} (x+2)(y+2)(z+2) $

cioè:

$ \displaystyle xz+yx+zy +2(x+y+z)\geq \frac {1}{3} [xyz+2(xy+xz+yz)+4(x+y+z)+8] $

che usando il vincolo e sistemando diventa

$ \displaystyle \bigr( \frac{xz+xy+zy}{3}\bigl )+2\bigr(\frac{x+y+z}{3}\bigl )\geq (8+64):3=24 $

ma applicando am-gm all ' LHS abbiamo:

$ \displaystyle LHS \geq (x^2y^2z^2)^{1/3}+2(xyz)^{1/3}=16+2\cdot 4=24 $ che è la tesi!

[scambret]

Si, adesso si..

[Ido Bovski]

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 4ab+4bc+4ca$

Ti metto nascosto un hint per concludere da qui... almeno così ti guadagni il testimone

Testo nascosto:

Poni $a=x^{-1}$ e cicliche, allora hai ad esempio che $bc=8x$, sostituisci e...

[matty96]

Ho capito ido...alla fine con quella sostituzione esce una cosa del tipo $ \sum_{cyc}2x^2\geq \sum_{cyc}x$ che è vera considerando x,y,z maggiori di uno.

[Ido Bovski]

Ho capito ido...alla fine con quella sostituzione esce una cosa del tipo $ \sum_{cyc}2x^2\geq \sum_{cyc}x$ che è vera considerando x,y,z maggiori di uno.

Mmm, perchè? Hai che $xyz=1/8$ no?