64. Non abbandono le funzionali!
64. Non abbandono le funzionali!
Trovare tutte le funzioni $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ tali che $f(1)=2$ e $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
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Ido Bovski
- Messaggi: 232
- Iscritto il: 07 mag 2012, 11:51
Re: 64. Non abbandono le funzionali!
Sostituendo $y=0$ abbiamo che $(f(x)-1)(f(0)-1)=0$, pertanto $f(x)\equiv 1$ oppure $f(0)=1$. Per ipotesi $f(1)=2$, dunque analizziamo soltanto il secondo caso.
Ponendo $y=1$ nell'equazione data, otteniamo $f(x+1)=(f(1)-1)f(x)+1=f(x)+1$. Sia ora $n$ un numero intero, allora $f(x+n)=f((x+n-1)+1)=f(x+n-1)+1=\ldots =f(x)+n$ e, in particolare, poiché $f(0)=1$, sostituendo $x=0$ abbiamo $f(n)=n+1$.
Ponendo $y=n$ nell'equazione iniziale, abbiamo che $f(x+n)=f(x)f(n)-f(xn)+1$, allora $f(x)+n=f(x)f(n)-f(xn)+1$, da cui $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n}\left(f(xn)-1\right)+1$. Sostituendo $\displaystyle x=\frac{m}{n}$, ovvero un qualsiasi numero razionale, nell'equazione precedente, abbiamo che $\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{1}{n}\left(f(m)-1\right)+1=\frac{1}{n}\left((m+1)-1\right)+1=\frac{m}{n}+1$.
Pertanto è dimostrato che $f(x)=x+1$ per ogni $x\in\mathbb{Q}$ ed è facile verificare che questa funzione soddisfa l'equazione data.
Ponendo $y=1$ nell'equazione data, otteniamo $f(x+1)=(f(1)-1)f(x)+1=f(x)+1$. Sia ora $n$ un numero intero, allora $f(x+n)=f((x+n-1)+1)=f(x+n-1)+1=\ldots =f(x)+n$ e, in particolare, poiché $f(0)=1$, sostituendo $x=0$ abbiamo $f(n)=n+1$.
Ponendo $y=n$ nell'equazione iniziale, abbiamo che $f(x+n)=f(x)f(n)-f(xn)+1$, allora $f(x)+n=f(x)f(n)-f(xn)+1$, da cui $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n}\left(f(xn)-1\right)+1$. Sostituendo $\displaystyle x=\frac{m}{n}$, ovvero un qualsiasi numero razionale, nell'equazione precedente, abbiamo che $\displaystyle f\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{1}{n}\left(f(m)-1\right)+1=\frac{1}{n}\left((m+1)-1\right)+1=\frac{m}{n}+1$.
Pertanto è dimostrato che $f(x)=x+1$ per ogni $x\in\mathbb{Q}$ ed è facile verificare che questa funzione soddisfa l'equazione data.
Re: 64. Non abbandono le funzionali!
La soluzione è ovviamente giusta, però devi un pò vedere se puoi continuare la staffetta, dato che ho fatto un pò di casino nel vecchio post...(anzi se vuoi dai tu una controllatina all'ultimo post che ho scritto là, se è giusta va bene, se è sbagliata (cosa che credo) rispondi tu cosi' puoi continuare comunque)
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cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
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