68. It's time for Africa !

[Mist]

Non è difficile ed è in parte un "classico", quindi sarebbe carino lasciarla per i novizi che vogliono gloriosamente irrompere nella staffetta.

Per ogni $a,b,c$ reali positivi, dimostrare che vale

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq\frac{9}{a+b+c} $$

[Clausewitz]

Per AM-HM applicata a $a$ e $b$ si ha che $\frac{a+b}{2}\geq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$, ovvero $\frac{2}{a+b}\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}$. Sommando si ottiene la prima disuguaglianza.
Per la seconda, sempre per AM-HM si ha che $\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}}{3}\geq \frac{3}{2(a+b+c)}$ il che equivale alla seconda disuguaglianza.

[Mist]

Va bene, vai pure col prossimo