134. $x^5-4=y^2$

[scambret]

Risolvere negli interi $x^5-4=y^2$

[jordan]

Dato che per ogni primo dispari $p$ vale $(\frac{x}{p})\equiv x^{\frac{1}{2}(p-1)} \pmod p$ allora $y^2 \equiv x^5-4 \in \{-5,-4,-3\} \pmod{11}$. Dato che $11 \equiv 3 \pmod 4$ allora $-1$ non è un residuo quadratico, per cui implica in modo equivalente che almeno uno tra $5,4,3$ non sia residuo quadratico. Ma $4^2 \equiv 5 \pmod{11}, 2^2 \equiv 4 \pmod{11} \text{ e }5^2\equiv 3 \pmod{11}$..

[scambret]

Torna a te il testimone, a quanto pare