Dove sbaglio?

[flutist001]

Il problema dice : qual è la probabilità che estratti due numeri a caso (anche uguali) compresi tra 1 e 12 (estremi inclusi) il loro prodotto sia multiplo di 5?
Io ho considerato prima tutte le possibili estrazioni , quindi le combinazioni a due a due che sono 12*11/2=66 e poi le possibilità che queste siano un multiplo di cinque , cioè 23 , considerando che multipli di 5 sono solo 5 e 10 , allora ogni coppia deve essere 5*n o 10*n con 1<=n<=12 , cioè 24 , meno 1 considerando che 10*5 lo conto due volte.Quindi la probabilità dovrebbe essere 23/66 , ma non è il risultato giusto , dove sbaglio?

[jordan]

Il problema dice : qual è la probabilità che estratti due numeri a caso (anche uguali) compresi tra 1 e 12 (estremi inclusi) il loro prodotto sia multiplo di 5?

Io ho considerato prima tutte le possibili estrazioni , quindi le combinazioni a due a due che sono 12*11/2=66

E' sbagliato quello in grassetto, non stai considerando che possono essere estratti numeri uguali..

Ps. un modo piu' facile e veloce del conto diretto, in parole povere, è passare per il complementare

[Drago96]

Il problema è quando conti i casi totali: non stai tenendo conto del fatto che puoi anche prendere due numeri uguali...
Se a 66 aggiungi 12 (il numero delle coppie di numero uguali) dovresti ottenere il risultato corretto

[jordan]

Se a 66 aggiungi 12 (il numero delle coppie di numero uguali) dovresti ottenere il risultato corretto

Cosi' otterresti che $p=\frac{23}{78}$, ed è comunque sbagliato.. trova l'errore/i

Edited: il risultato sopra non è sbagliato, ma dipende dal fatto che le coppie siano ordinate o non ordinate..

[Drago96]

Ok, mi è stato fatto notare che effettivamente le coppie con due numeri uguali hanno probabilità diversa di essere estratte rispetto a quelle con due numeri diversi...
Facendo quindi i conti con le coppie ordinate dovrebbe venire...

[flutist001]

Se a 66 aggiungi 12 (il numero delle coppie di numero uguali) dovresti ottenere il risultato corretto

Cosi' otterresti che $p=\frac{23}{78}$, ed è comunque sbagliato.. trova l'errore/i

Avete ragione , quindi le coppie in totale sono 12*12/2=72 che dovrebbe essere giusto , ma quelle divisibili per 5 non capisco perché non sono 23 .-.

[jordan]

La questione è semplice: la probabilità che il prodotto di due numeri non sia multiplo di 5 è il prodotto delle probabilità che ognuno dei due numeri non sia multiplo di 5, cioè $(\frac{5}{6})^2$. Evidentemente il complementare è il valore cercato, $\frac{11}{36}$. Vorrei sapere perchè continui a fare "diviso 2" per contare i casi possibili Se ti piace quella strada:
- Casi possibili: $12^2$
- Casi faverevoli: $(5,i), (i,5), (10,i), (i,10), (5,10), (10,5), (5,5), (10,10)$, con $5\nmid i \in \{1,2,\ldots,12\}$, per cui ne sono $4\cdot 10+4=44$. In definitiva $p=\frac{44}{12^2}=\frac{11}{36}$. []
Questo, nell'ipotesi che le coppie da trovare erano ordinate, nel senso che se $a\neq b$ allora $(a,b)$ e $(b,a)$ sono due coppie diverse.

Nel caso, invece, che le coppie non sono ordinate, allora i casi possibili sono $\binom{12}{2}+12$ e quelli possibili $2\cdot 10+3$ (infatti devono essere nell'insieme $\{(5,i),(10,i),(5,10),(10,10),(5,5)\}$), e farebbe $\frac{23}{78}$. []

E' tutto chiaro ora?
Se hai davvero capito, risolvi i due seguenti:
- Sia fissato un intero positivo $n$, qual è la probabilità che il prodotto di due numeri entrambi in $\{1,2,\ldots,n\}$ sia multiplo di un primo $p$, nel caso di coppie ordinate?
- Sia fissato un intero positivo $n$, qual è la probabilità che il prodotto di due numeri entrambi in $\{1,2,\ldots,n\}$ sia multiplo di un primo $p$, nel caso di coppie non ordinate?

[nic.h.97]

Forse ti puo' essere d'aiuto scrivere su 2 file tutti i numeri da 1 a 12 e provare a vedere i collegamenti ...

[jordan]

Forse ti puo' essere d'aiuto scrivere su 2 file tutti i numeri da 1 a 12 e provare a vedere i collegamenti ...

Ma così li conteresti a mano..

[flutist001]

E' tutto chiaro ora?
Se hai davvero capito, risolvi i due seguenti:
- Sia fissato un intero positivo $n$, qual è la probabilità che il prodotto di due numeri entrambi in $\{1,2,\ldots,n\}$ sia multiplo di un primo $p$, nel caso di coppie ordinate?
- Sia fissato un intero positivo $n$, qual è la probabilità che il prodotto di due numeri entrambi in $\{1,2,\ldots,n\}$ sia multiplo di un primo $p$, nel caso di coppie non ordinate?

Per ora credo di aver risolto il primo , per quanto riguarda il secondo credo di aver sbagliato qualcosa perché mi vengono cose troppo strane!Però vorrei sapere se sto prendendo la strada giusta : per il primo ho pensato che se il prodotto è multiplo di un primo , allora devo sottrarre a 1 la probabilità che il prodotto di una coppia sia primo , cioè solo 1*p , p*1 , 1*1 , quindi i casi possibili sono $ n^2 $ e i casi favorevoli , considerando che $ q $ è il numero di primi nell'insieme , sono $ 1+2q $ , quindi sottraggo e il risultato dovrebbe essere $\frac{n^2-1-2q}{n^2}$ , per il secondo dovrebbe essere lo stesso ragionamento , però i casi possibili sono dati dal coefficiente binomiale , e quelli favorevoli $ 1+q $ .

[nic.h.97]

Forse ti puo' essere d'aiuto scrivere su 2 file tutti i numeri da 1 a 12 e provare a vedere i collegamenti ...

Ma così li conteresti a mano..

No io lo dicevo perchè cosi' capiva meglio perchè sbagliava nei calcoli.

1) quanti collegamenti ci sono in tutto?
2) prendendo un numero dalla prima fila ( 5 e 10 esclusi) , quanti collegamenti hanno ciascuno di questi con il 5 e il 10 nella seconda fila?
poi aggiungici 12*2 per i 5 e i 10 della fila di prima ....

[jordan]

Per ora credo di aver risolto il primo , per quanto riguarda il secondo credo di aver sbagliato qualcosa perché mi vengono cose troppo strane!Però vorrei sapere se sto prendendo la strada giusta : per il primo ho pensato che se il prodotto è multiplo di un primo , allora devo sottrarre a 1 la probabilità che il prodotto di una coppia sia primo , cioè solo 1*p , p*1 , 1*1 , quindi i casi possibili sono $ n^2 $ e i casi favorevoli , considerando che $ q $ è il numero di primi nell'insieme , sono $ 1+2q $ , quindi sottraggo e il risultato dovrebbe essere $\frac{n^2-1-2q}{n^2}$ , per il secondo dovrebbe essere lo stesso ragionamento , però i casi possibili sono dati dal coefficiente binomiale , e quelli favorevoli $ 1+q $ .

Forse pensare con le lettere ti confonde un po'; mettiamo così:

- qual è la probabilità che il prodotto di due numeri entrambi in $\{1,2,\ldots,500\}$ sia multiplo di $7$, nel caso di coppie ordinate?
- qual è la probabilità che il prodotto di due numeri entrambi in $\{1,2,\ldots,500\}$ sia multiplo di $7$, nel caso di coppie non ordinate?