Primi $p$ tali che $2$ è un generatore mod $p$

[Ido Bovski]

Siano $p$ e $q\equiv 1 \pmod 2$ due numeri primi. Dimostrare i seguenti risultati.
1. Se $2$ è un generatore mod $p$, allora $p\equiv 3, 5 \pmod 8$.
2. Se $p=2q+1$, allora $2$ è un generatore mod $p$ se e solo se $q\equiv 1, 5 \pmod 8$.
3. Se $p=4q+1$, allora $2$ è un generatore mod $p$.

[jordan]

Siano $p$ e $q\equiv 1 \pmod 2$ due numeri primi. Dimostrare i seguenti risultati.
1. Se $2$ è un generatore mod $p$, allora $p\equiv 3, 5 \pmod 8$.
2. Se $p=2q+1$, allora $2$ è un generatore mod $p$ se e solo se $q\equiv 1, 5 \pmod 8$.
3. Se $p=4q+1$, allora $2$ è un generatore mod $p$.

Non risolvo il problema (per chi volesse provarci, puo' sembrare ovvio, ma un generatore non è un residuo quadratico) ma volevo chiedere una cosa: la congettura di Artin ipotizza che, dato a>1 intero, esistono infiniti primi p tali che a e' una radice primitiva (o chiamatelo generatore) modulo p; ora, nel 1986 Brown ha mostrato che la congettura è falsa al massimo per due valori di a (ma se davvero esistono, non si conoscono).
Ora, se p=2q+1 allora q è un primo di sophie german; se questa condizione è sufficiente a mostrare che 2 è generatore mod p, allora è sufficiente mostrare che esistono infiniti primi di Sophie German?
E' un problema aperto da molto, ma che fu risolto nel 2000 e qualcosa, o la mia memoria mi inganna?

[Ido Bovski]

E' un problema aperto da molto, ma che fu risolto nel 2000 e qualcosa, o la mia memoria mi inganna?

L'esistenza di infiniti primi di Sophie Germain? No, non mi risulta e un po' di ricerche mi danno conferma. Comunque, se ho ben capito ciò che vuoi dire, bisognerebbe dimostrare che ne esistono infiniti della forma $4k+1$.

[jordan]

L'esistenza di infiniti primi di Sophie Germain? No, non mi risulta e un po' di ricerche mi danno conferma..

Avevo provato anch'io a cercarlo, ma niente..Molto probabilmente mi confondo con i primi gemelli, vabè