Funzione generatrice

[Commandline]

Premetto di non essere molto pratico in questo campo quindi perdonatemi se faccio una domanda sciocca:

Sia data una successione: $ ( a_{i} )_{i \in N} $ e sia definita la sua generatrice ordinaria: $G(a_{i})=\sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$, sia data inoltre la successione $(b_i)_{i \in N}$ tale che $b_i=\alpha^{a_i}$, come posso esprimere $G(b_i)$ in funzione di $G(a_i)$ e di $\alpha$?

Grazie

P.S. Spero di averla messa nella sezione giusta.

[dario2994]

Mi viene da dirti che non puoi.
Ad esempio piazzo $\alpha=2$ e $a_i=2^i$. Allora risulta $G(a_i)=\frac1{1-2x}$ mentre invece $G(b_i)$ temo non si scriva in modo bello...
Ora qui dico cose campate in aria: l'idea secondo cui non si scrive in modo bello è che $b_i$ cresce un sacco... e questo fa sì che la sommatoria infinita di $G(b_i)$ non converga mai... pure se $x$ è vicinissimo a 0. Questo rende poco credibile che si possa scrivere in forma bella... perchè tutte le operazioni coinvolte nello scrivere in forma bella (quelle canoniche tipo somme divisioni o allargandosi esponenziali e boh) non distruggono il raggio di convergenza.
Se non c'hai capito nulla di quello che ho scritto non è grave e anzi magari ti salvi da un mare di boiate.

[Commandline]

Semplifico la cosa: $\alpha=-1$: è questo il caso che mi interessa... non fa niente se non trovo quello generale...comunque sei stato chiaro, grazie

P.S. $a_i$ assume valori interi positivi

[jordan]

Seguiranno molto probabilmente altri fatti non giustificati anche qui, i quali non so se esattamente se valgono, quando ciascuna delle seguenti serie non converge:

Se $a_i \in \mathbb{N}_0$ for ogni $i \in \mathbb{N}$, e $G(\{a_i\}_{i \in \mathbb{N}}):=\sum_{i\in \mathbb{N}}{a_ix^i}$ allora:

\begin{equation} \begin{split} G(\{b_i\}_{i \in \mathbb{N}}):= G(\{(-1)^{a_i}\}_{i \in \mathbb{N}}) & =\sum_{i \in \mathbb{N}}{(-1)^{a_i}x^i} = \\ & = \sum_{i \in \mathbb{N}}{\left(-2\{a_i \text{ mod }2\}+1\right)x^i} =\\ & = \sum_{i \in \mathbb{N}}{\left(-2a_i+4\lfloor a_i/2 \rfloor +1\right)x^i} = \\ & = -2G(\{a_i\}_{i \in \mathbb{N}})+\frac{1}{1-x}+4\sum_{i \in \mathbb{N}}{\lfloor a_i/2 \rfloor x^i} \end{split}\end{equation}

Piu' di questo non saprei aiutarti, ammesso che sia giusto

[Commandline]

grazie mille

[Commandline]

Se vi viene in mente un modo per semplificare l'ultima sommatoria fatemi sapere, grazie

[jordan]

"Semplificarla" è un po' difficile visto ti trovi al punto di dover scegliere: se è pari succede una cosa, se è dispari un'altra; almeno, se vuoi mettere tutto in funzione di G(a). Se puo' esserti utile, per ogni $x \in \mathbb{R}$ vale $x-1 <\lfloor x \rfloor \le x$ per cui abbiamo che $2G(a)+2G(b)$ è limitato dal basso da $\frac{-3}{1-x}+2G(a)$ e dall'alto da $\frac{1}{1-x}+2G(a)$. In particolare tutti i $G(a)$ si semplificano (non è un caso, visto che ci interessa solo la parità dei coefficienti) e otteniamo

\[ \frac{-3}{2(1-x)}<G(b) \le \frac{1}{2(1-x)} \]

[Commandline]

Ok, il problema è che io devo trovare la generatrice di una funzione definita per ricorrenza per poi trovarne una formula chiusa, c'è un metodo alternativo alle generatrici per farlo dato che non possiamo avere G(b) precisamente?

[jordan]

Ok, il problema è che io devo trovare la generatrice di una funzione definita per ricorrenza..

Allora molto probabilmte dipenderà dalle proprietà della funzione stessa..

[Commandline]

La successione è $(a_n)=(-1)^{a_{n-1}}(5a_{n-1}+2)+4a_{n-1}$ ed $a_0=n$. Che ne pensi? Grazie che mi stai ancora dando retta

[Drago96]

Immagino quindi che $a_0$ sia pari, se la successione deve assumere valori positivi...

Se suppongo $a_0$ pari, allora $a_1=9a_0+2$ e anche questo è pari e quindi tutti i termini saranno pari. E se tutti i termini sono pari, vale quindi la legge $a_{n+1}=9a_n+2$ che è una banale progressione mista...

[jordan]

La successione è $(a_n)=(-1)^{a_{n-1}}(5a_{n-1}+2)+4a_{n-1}$ ed $a_0=n$. Che ne pensi?

Mmh penso che $a_0$ non sia $n$

[Commandline]

scusate, errore di battitura: non è $4a_{n-1}$ ma $7a_{n-1}$ e poi ho sbagliato ad aver chiamato gli indici e $a_0$ nello stesso modo, riscrivo la formula: $a_i=(-1)^{a_{i-1}}(5a_{i-1}+2)+7a_{i-1}$

[Drago96]

Beh, non è che cambi molto...

$a_1$ è comunque pari, e quindi da quello in poi la successione è $a_{i+1}=12a_i+2$

[Commandline]

ok grazie, ora ne ho un'altra per la vostra gioia : $a_{i+1}=\frac{(-1)^{a_{i}+1}(9a_i+2)+11a_i+2}{4}$, $a_0=n$