cese 2 2006

[nic.h.97]

con p primo e p , m , n nei naturali.
$ p^n +144 = m^2 $
$ p^n = (m-12)(m+12) $
$ m-12<m+12 $
ora abbiamo 2 casi
a) $ m-12 = 1 $
$ m+12 = p^n $

da cui ricavo una soluzione : $ m=13 , p= 5 , n=2 $
$ m+12=1 $
$ m+12 = p^n $

impossibile perchè sto lavorando nei naturali.
b)$ m-12 = p $
$ m+12= p^{n-1} $
mentre non vale
(($ m-12 = p^{n-1} $
$ m+12= p $ perchè lavoro nei $ N $))

ora , $ m=p+12 $
quindi
$ p+24=p^{n-1} $

$ quindi 24=p(p^{n-2}-1) $

da cui $ p= 3 $ o $ p=2 $ ( divisori primi di 24)

se $ p=3 $
ho che $ (p^{n-2}-1)=8 $
da cui $ n=4 $
e $ m=12+3=15 $
---
ora con $ p=2 $
ho che $ (p^{n-2}-1)=12 $
e quindi $ 2^{n-2}=13 $

che non ha soluzione

corretto?

[Drago96]

Uhm, e $m-12=p^2$ e $m+12=p^{n-2}$ dove lo consideri, per esempio?

Prova ad imporre $m-12=p^a$ e $m+12=p^b$ e vedi cosa accade...

[nic.h.97]

a è vero!...
metto
$ a<b $
$ 24=p^a(p^{b-a}-1) $

ora mi rimangono $ p=2^2 $ o $ p=2^3 $
con $ p=2^2 $
ottengo $ (p^{b-a}-1)=4 $
che non ha soluzione
invece , per $ p=2^3 $
ottengo $ (p^{b-a}-1)=3 $
e quindi $ 2^{b-3}=4 $
e quindi $ b=5 $
$ m=8+12=20 $

[Drago96]

ora mi rimangono $ p=2^2 $ o $ p=2^3 $

$p$ è primo...

[nic.h.97]

$ p^a $
con $ a=2 $ o $ a=3 $

[Drago96]

E $p=3,a=1$ ?

Comunque, quando risolvi una diofantea è meglio scrivere all'inizio e/o alla fine tutte le soluzioni...

[nic.h.97]

con p=3 e a=1 l'avevo gia' scritto sopra... solo che è un po' tutto incasinato qua

[Drago96]

Ok, prova a riscrivere tutto per bene, allora...

[nic.h.97]

con p primo e p , m , n nei naturali.
$ p^n+144=m^2 $
$ p^n=(m−12)(m+12) $
-----
$ m−12<m+12 $
ora abbiamo 2 casi
a) $ m−12=1 $
$ m+12=p^n $
da cui ricavo una soluzione
m=13 p=5 n=2
e non vale invece , $ m+12=1 $
perchè lavoro nei naturali.

b)ora impongo $ m-12=p^a $
e $ m+12=p^b $
dove $ a+b=n $

dunque diventa (con $ a<b $ )

$ p^a +24=p^b $
da cui
$ 24=p^a(p^{b-a}-1) $

ora abbiamo$ p^a=2^1,2^2,2^3,3^1 $

con -$ 2^1 $ ricavo $ 12=(2^{b-1}-1) $
che non ha soluzione
con- $ 2^2 $ ricavo $ 7=2^{b-2} $
che non ha soluzione
con- $ 2^3 $ ricavo $ 4=2^{b-3} $
da cui $ b=5 $ e quindi $ n=5+3=8 $ e $ m=12+8=20 $
con -$ 3^1 $ ottengo $ 9=3^{b-1} $
da cui $ b=3 $e quindi $ n=3+1=4 $ e quindi $ m=3+12=15 $

in conclusione le soluzioni sono con $ (m,n,p) $ :
$ (15,4,3) $ , $ (20,8,2) $ e $ (13,5,2) $

che fatica

[Drago96]

Molto bene!
Volendo essere pignoli, i "casi" si potevano fare dopo, dato che $1=p^0$, e poi potevi saltarti due valori ($2^1$ e $2^2$), dato che $\gcd(p^a,p^{b-a}-1)=1$

$ (13,5,2) $

E' $(13,2,5)$