$p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$

[Ido Bovski]

Determinare tutte le terne $(p, q, n)$ con $p, q$ primi e $n\ge 1$ intero, tali che
$$p(p+1)+q(q+1)=n(n+1).$$

[Troleito br00tal]

Testo nascosto:

Notiamo inizialmente che $p+q>n$ per la seguente equazione:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
(p+0.5)^2+(q+0.5)^2=(n+0.5)^2+(0.5)^2
\end{equation}
E, dato che $0.5<p+0.5<q+0.5<n+0.5$ o $0.5<q+0.5<p+0.5<n+0.5$, questo implica $p+0.5+q+0.5>0.5+n+0.5$, ovvero $p+q>n$\\
Ora, facciamo i conti:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
E ora ho le due equazioni:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(p+0.5)^2
\end{equation}
Che diventano rispettivamente
\begin{equation}
p(p+1)=(n+q+1)(n-q)
\end{equation}
\begin{equation}
q(q+1)=(n+p+1)(n-p)
\end{equation}
Ora, sfruttando il fatto che $p+q>n$, e il fatto che $p;q$ siano primi, posso dire che $p|n+q+1$ e $q|n+p+1$. Per TCR, $n=pq-p-q-1(pq)$, però noi sappiamo che $n<p+q$, quindi se uniamo tutto otteniamo:
\begin{equation}
pq-p-q-1<p+q
\end{equation}
\begin{equation}
pq<2p+2q+1
\end{equation}
Ora, con $q \ge p$, supponiamo:\\
-$p \ge 5$ che non ha soluzioni:
\begin{equation}
pq>5q>2p+2q+1
\end{equation}
-$p=3$:
\begin{equation}
12+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=(n-q)(n+q+1)
\end{equation}
Scegliendo tra i divisori di $12$, troviamo le soluzioni $n=6;q=5$ (che rispetta le ipotesi) e $n=3;q=0$ (che non rispetta le ipotesi)
-$p=2$:
\begin{equation}
6+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6=(n-q)(n+q+1)
\end{equation}
Scegliendo tra i divisori di $6$, troviamo le soluzioni $n=3;q=2$ (che rispetta le ipotesi) e $n=2;q=0$ (che non le rispetta).\\
\\
Le soluzioni sono quindi $(3;5;6);(5;3;6);(2;2;3)$.

[Troleito br00tal]

La riposto non nascosta perché non si capisce una mazza.

Notiamo inizialmente che p+q>n per la seguente equazione:
(p+0.5)2−(0.5)2+(q+0.5)2−(0.5)2=(n+0.5)2−(0.5)2

(p+0.5)2+(q+0.5)2=(n+0.5)2+(0.5)2

E, dato che 0.5<p+0.5<q+0.5<n+0.5 o 0.5<q+0.5<p+0.5<n+0.5, questo implica p+0.5+q+0.5>0.5+n+0.5, ovvero p+q>n\\
Ora, facciamo i conti:
(p+0.5)2−(0.5)2+(q+0.5)2−(0.5)2=(n+0.5)2−(0.5)2

E ora ho le due equazioni:
(p+0.5)2−(0.5)2=(n+0.5)2−(q+0.5)2

(q+0.5)2−(0.5)2=(n+0.5)2−(p+0.5)2

Che diventano rispettivamente
p(p+1)=(n+q+1)(n−q)

q(q+1)=(n+p+1)(n−p)

Ora, sfruttando il fatto che p+q>n, e il fatto che p;q siano primi, posso dire che p|n+q+1 e q|n+p+1. Per TCR, n=pq−p−q−1(pq), però noi sappiamo che n<p+q, quindi se uniamo tutto otteniamo:
pq−p−q−1<p+q

pq<2p+2q+1

Ora, con q≥p, supponiamo:\\
-p≥5 che non ha soluzioni:
pq>5q>2p+2q+1

-p=3:
12+(q+0.5)2−(0.5)2=(n+0.5)2−(0.5)2

12=(n+0.5)2−(q+0.5)2

12=(n−q)(n+q+1)

Scegliendo tra i divisori di 12, troviamo le soluzioni n=6;q=5 (che rispetta le ipotesi) e n=3;q=0 (che non rispetta le ipotesi)
-p=2:
6+(q+0.5)2−(0.5)2=(n+0.5)2−(0.5)2

6=(n+0.5)2−(q+0.5)2

6=(n−q)(n+q+1)

Scegliendo tra i divisori di 6, troviamo le soluzioni n=3;q=2 (che rispetta le ipotesi) e n=2;q=0 (che non le rispetta).\\
\\
Le soluzioni sono quindi (3;5;6);(5;3;6);(2;2;3).

[jordan]

Il problema non era il .tex, ma l'utilizzo del testo nascosto

[Troleito br00tal]

Ok, in realtà togliendolo dal testo nascosto mi ha tolto anche il tex. Vabbé, come dice il mio profe di filo: "Delle due, l'una".