136. Equazione polacca

[jordan]

Mostrare che la seguente equazione non ha soluzione negli interi:

\[ (2x_1^2+3y_1^2)(2x_2^2+3y_2^2)\ldots (2x_{2011}^2+3y_{2011}^2)= k^2 \]

[Clausewitz]

Provo a dare una soluzione.
Vale l'uguaglianza $(2a^2+3b^2)(2c^2+3d^2)=(2ac+3bd)^2+6(ad-bc)^2$.
Inoltre vale anche l'uguaglianza $(a^2+6b^2)(2c^2+3d^2)=2(ac+3bd)^2+3(ad-2bc)^2$.
Dunque moltiplicando i primi due fattori del prodotto si ottiene un numero della forma $a^2+6b^2$, moltiplicando qusto per il terzo se ne ottiene uno della forma $2a^2+3b^2$, e così via finché il prodotto del primo membro diviene della forma $2x^2+3y^2$.
Dunque se l'equazione ha soluzioni, ce le ha anche l'equazione $2x^2+3y^2=k^2$.
Possiamo supporre che $x$, $y$ e $k$ siano primi tra di loro (eventuali fattori in comune potrebbero essere semplificati).
Ma allora se $x$ è divisibile per $3$ allora, dato che per l'ultima ipotesi fatta $y$ non può esserlo, allora $k^2$ dovrebbe essere divisibile per $3$ ma non per $9$, il che è assurdo.
Se $x$ non è divisibile per tre si ottiene un assurdo in modulo $3$.

[jordan]

Buon, vai col prossimo!