$(a+b+c)(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}) \in \mathbb{N}$

[jordan]

Trovare tutti gli interi positivi $a,b,c$ a coppie coprimi tali che $(a+b+c)(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})$ è anch'esso intero.

(Nazionali coreane)

[Clausewitz]

$$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{abc}$$
Dunque $a\mid (a+b+c)(ab+bc+ac)$. Ma allora divide anche la parte senza $a$, cioè $a\mid bc(b+c)$ (si vede eseguendo la moltiplicazione).
Dato che i numeri sono a due a due coprimi, allora $a\mid b+c$.
Analogamente si dimostra che $b\mid a+c$.
Moltiplicando le due divisibilità si ottiene che $ab\mid (b+c)(a+c)=ab+bc+ac+c^2$ ovvero $ab\mid bc+ac+c^2=c(a+b+c)$.
Dato che $(ab,c)=1$ allora $ab\mid a+b+c$.
Supponiamo senza perdita di generalità che $a\geq b\geq c$.
Allora se $b\geq 3$ allora $ab\geq 3a\geq a+b+c$. Per la divisibilità vista sopra, dato che $a$, $b$ e $c$ sono positivi deve per forza valere l'uguaglianza. Ma essa vale solo se $a=b=c$. Vista la coprimalità tutti e tre i numeri debbono essere uguali a uno. Ma avevamo detto $b\geq 3$ e dunque siamo giunti ad un assurdo.
Se $b=2$ allora $c=1$ ($c=2$ viola la coprimalità). Dato che $a\mid b+c=3$ allora $a=1$ o $a=3$. Solo la seconda verifica la tesi dando come risultato $11$.
Se $b=1$ allora $c=1$. Dato che $a\mid b+c=2$ allora $a=1$ o $a=2$. Solo la prima veriica la tesi, dando come risultato $9$.
Dunque le soluzioni sono $(a,b,c)=(1,1,1)$ oppure $(a,b,c)=(3,2,1)$ (quest'ultima con le cicliche).

[karlosson_sul_tetto]

Bé, si può vedere a mano che anche la coppia $ (2;1;1) $ va bene...

[Clausewitz]

Ops... ho sbagliato i calcoli ed ho escluso erroneamente la terna $(2,1,1)$. Il resto del ragionamento dovrebbe essere giusto.

[kalu]

Si però si faceva prima notando che $ (abc, ab+bc+ca)=1 $ (da cui $ abc \mid a+b+c $)