L'ha già messo qualcuno?(Abbastanza facile)

[Kfp]

Non so se questo problema esista già sull'oliforum, mi pareva di averlo visto in qualche vecchio topic. Nel dubbio, posto.

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo, e sia $H$ il suo ortocentro. Le tangenti condotte da $A$ al cerchio avente $BC$ come diametro toccano il cerchio nei punti $P$ e $Q$.
Dimostrare che $H$, $P$ e $Q$ sono allineati.

[mat94]

Chiamo D,E,F i piedi delle altezze uscenti da A,B,C rispettivamente e M il punto medio di BC.
Innanzitutto dimostro che APDQ è ciclico. Data la ciclicità di APMQ ( due angli retti opposti ) ottengo che AM è un diametro e dato che $\angle{ADM}=90$ si ha che D appartiene alla circonferenza circoscritta ad APMQ quindi APDQ è ciclico. Ora considero le circonferenze circoscritte a APDQ, BCEF ( ciclico poiché la circonferenza con diametro BC passa per i piedi delle altezze ), AFDC ( ciclico ) che chiamo rispettivamente $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.L'asse radicale tra $\alpha$ e $\beta$ è PQ, tra $\alpha$ e $\gamma$ è AD e tra $\gamma$ e $\beta$ è CF. Dato che CF e AD sono due altezze il loro punto d'incontro e quindi il centro radicale delle tre circonferenze è H. Quindi P,Q e H sono allineati.

[mat94]

Penso di aver trovato un'altra soluzione più immediata ( ditemelo se è completamente cannata ).
Considero la circonferenza circoscritta a BCEF (usando le lettere di sopra) . Dato che la polare di un punto esterno ad una circonferenza passa per i punti di tangenza, la polare di A passa per P e Q. Ma per il lemma della polare si ha che la polare passa per l'intersezione delle diagonali di BCEF che è H. Quindi P,Q e H sono allineati.

[EvaristeG]

Giuste tutte e due! E, anche se la seconda è quella più rapida, la prima è quella che mi piace di più bravo!

[mat94]

Grazie anche a me piace più la prima